Ebene/Geraden/Einführung/Textabschnitt
Wir betrachten Geraden in der Ebene . Unter der Gleichungsform einer Geraden in der Ebene versteht man eine lineare Gleichung der Form
mit . Es ist einfach, aus der Gleichungsform eine Punktrichtungsform zu erhalten.
Dies folgt aus Fakt, da eine Basislösung der zugehörigen homogenen linearen Gleichung ist.
Es seien im zwei Geraden und in Gleichungsform durch
bzw.
(mit und ) gegeben.
Dann ist der Durchschnitt der beiden Geraden die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems, das aus diesen beiden Gleichungen besteht. Dabei gibt es die drei Möglichkeiten:
- Es ist .
- Es ist .
- Der Durchschnitt besteht aus einem einzigen Punkt.
Beweis
Im zweiten Fall (manchmal auch im ersten Fall) spricht man von parallelen Geraden. Der dritte Fall tritt genau dann ein, wenn zwischen und keine Vielfachheitsbeziehung besteht.
Wir berechnen zu den durch
bzw.
gegebenen Geraden den Durchschnitt. Wenn man von der zweiten Gleichung das -fache der ersten Gleichung abzieht, so erhält man
also
und somit
und
Der Durchschnitt besteht also aus einem einzigen Schnittpunkt mit den Koordinaten .