Es sei eine einfache Singularität gegeben. Wenn der Rang der Hessematrix gleich oder gleich ist, so zeigen
Fakt
bzw.
Fakt,
dass die Singularität rechtsäquivalent zu einer -Singularität ist. Es sei der Rang der Hessematrix also gleich . Nach
Fakt
hat das dritte Taylorpolynom nach einer linearen Transformation die Form
-
Im Fall liegt nach
Fakt
eine -Singularität mit
vor. Im Fall liegt nach
Fakt
eine -Singularität vor. Im Fall kann die Singularität nach nicht einfach sein. Es liege also der Fall vor. Das
Jacobiideal
hat die Form
-
mit
.
Somit enthält das Produktideal Elemente der Form
-
mit
.
Also gilt
-
Daher ist nach
Fakt
-bestimmt, und somit ist es rechtsäquivalent zu selbst, was den -Typ ergibt.