Ebene algebraische Kurve/Körper/Glatt/Charakterisierung/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F\in K[X,Y]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom mit der zugehörigen Kurve ${}C=V(F)$. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}C$ ist eine glatte Kurve.
2. Jeder Punkt ${}P\in C_{\overline {K}}\subseteq {\mathbb {A} }_{\overline {K}}^{2}$ ist glatt, wobei ${}{\overline {K}}$ einen algebraischen Abschluss von ${}K$ bezeichnet.
3. Die Polynome ${}F,{\frac {\partial F}{\partial X}},{\frac {\partial F}{\partial Y}}$ erzeugen in ${}{\overline {K}}[X,Y]$ das Einheitsideal.
4. Die Polynome ${}F,{\frac {\partial F}{\partial X}},{\frac {\partial F}{\partial Y}}$ erzeugen in ${}K[X,Y]$ das Einheitsideal.

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