Von (1) nach (2) ist klar, da die Glattheit ja eine Anforderung an jede Körpererweiterung ist. Es sei (2) erfüllt. Angenommen, das Ideal sei nicht das Einheitsideal. Dann gibt es nach
Fakt
ein
maximales Ideal
in mit
-
Da
algebraisch abgeschlossen
ist, ist nach
Fakt
das Ideal ein
Punktideal,
also von der Form
mit
.
Die Inklusionsbedingung
-
bedeutet
-
und somit ist
ein nichtglatter Punkt von , im Widerspruch zu (2). Von (3) nach (4) gilt für jedes Ideal
(siehe
Aufgabe). Von (4) nach (1). Sei
eine beliebige
Körpererweiterung.
Dann ist erst recht das Ideal in das Einheitsideal. Für einen Punkt
-
können dann nicht und die partiellen Ableitungen simultan verschwinden, es liegt also ein glatter Punkt vor.