Ebene algebraische Kurve/Körper/Glatt/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Von (1) nach (2) ist klar, da die Glattheit ja eine Anforderung an jede Körpererweiterung ist. Es sei (2) erfüllt. Angenommen, das Ideal sei nicht das Einheitsideal. Dann gibt es nach Fakt ein maximales Ideal in mit

Da algebraisch abgeschlossen ist, ist nach Fakt das Ideal ein Punktideal, also von der Form mit . Die Inklusionsbedingung

bedeutet

und somit ist ein nichtglatter Punkt von , im Widerspruch zu (2). Von (3) nach (4) gilt für jedes Ideal (siehe Aufgabe). Von (4) nach (1). Sei eine beliebige Körpererweiterung. Dann ist erst recht das Ideal in das Einheitsideal. Für einen Punkt

können dann nicht und die partiellen Ableitungen simultan verschwinden, es liegt also ein glatter Punkt vor.