Ebene algebraische Kurven/Potenzreihenlösung für Punkt/Linearer Term liegt auf Tangente/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein Polynom mit homogener Zerlegung ${}F=F_{m}+\cdots +F_{d}$ mit ${}d\geq m\geq 1$ und ${}F_{m}\neq 0$. Es sei

${}F_{m}=\prod _{\lambda =1}^{m}(u_{\lambda }X+v_{\lambda }Y)\,$

die Faktorzerlegung in Linearfaktoren (diese Linearfaktoren definieren also die Tangenten von $C=V(F)$ an $P=(0,0)$). Es seien

$G=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}{\text{ und }}H=\sum _{\ell =0}^{\infty }b_{\ell }T^{\ell }\in K[\![T]\!]$

Potenzreihen, die eine Lösung der Kurvengleichung ${}F=0$ durch den Nullpunkt beschreiben (d.h. $a_{0}=b_{0}=0$).

Dann ist ${}u_{\lambda }a_{1}+v_{\lambda }b_{1}=0$ für ein ${}\lambda$, d.h. der lineare Term der Potenzreihen ist durch eine der Tangenten vorgegeben.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen