Ebene kubische Kurven/Affin/Singularitäten/Textabschnitt
Wir betrachten die durch das Polynom gegebene Neilsche Parabel über einem Körper der Charakteristik . Die partiellen Ableitungen sind
Wenn man diese setzt, so folgt direkt, dass der einzige singuläre Punkt der Kurve ist und diese ansonsten glatt ist.
Wir betrachten die durch das Polynom gegebene Tschirnhausen Kubik über einem Körper der Charakteristik . Die partiellen Ableitungen sind
Wenn man diese (zusammen mit der Kurvengleichung selbst) setzt, so folgt und somit auch
Somit ist der Nullpunkt der einzige singuläre Punkt der Kurve, die ansonsten glatt ist.
Das Kartesische Blatt wird durch die Gleichung
beschrieben, der Grundkörper habe nicht die
Charakteristik.
Die
partiellen Ableitungen
sind
Wenn man diese (zusammen mit der Kurvengleichung selbst) setzt, so folgt und , also auch (ebenso für ). Dann ist , und somit liegt im Nullpunkt eine Singularität vor, oder und sind beide eine dritte Einheitswurzel (und zwar sind beide oder es sind die beiden anderen dritten Einheitswurzeln). An diesen anderen Verschwindungsstellen der beiden partiellen Ableitungen hat aber den Wert , diese sind also keine Punkte der Kurve. Der Nullpunkt ist also der einzige nichtglatte Punkt der Kurve.