Ebene kubische Kurven/Affin/Singularitäten/Textabschnitt


Wir betrachten die durch das Polynom gegebene Neilsche Parabel über einem Körper der Charakteristik . Die partiellen Ableitungen sind

Wenn man diese setzt, so folgt direkt, dass der einzige singuläre Punkt der Kurve ist und diese ansonsten glatt ist.



Wir betrachten die durch das Polynom gegebene Tschirnhausen Kubik über einem Körper der Charakteristik . Die partiellen Ableitungen sind

Wenn man diese (zusammen mit der Kurvengleichung selbst) setzt, so folgt und somit auch

Somit ist der Nullpunkt der einzige singuläre Punkt der Kurve, die ansonsten glatt ist.





Das Kartesische Blatt wird durch die Gleichung beschrieben, der Grundkörper habe nicht die Charakteristik. Die partiellen Ableitungen sind

Wenn man diese (zusammen mit der Kurvengleichung selbst) setzt, so folgt und , also auch (ebenso für ). Dann ist , und somit liegt im Nullpunkt eine Singularität vor, oder und sind beide eine dritte Einheitswurzel (und zwar sind beide oder es sind die beiden anderen dritten Einheitswurzeln). An diesen anderen Verschwindungsstellen der beiden partiellen Ableitungen hat aber den Wert , diese sind also keine Punkte der Kurve. Der Nullpunkt ist also der einzige nichtglatte Punkt der Kurve.