Ebene projektive Kurve/C/Glattheit/Kompakte riemannsche Fläche/2/Aufgabe/Lösung


Wir verwenden Fakt, es ist also zu zeigen, dass die partiellen Ableitungen von

auf keinem Punkt von simultan verschwinden. Die partiellen Ableitungen sind

Es sei ein Punkt, in dem alle partiellen Ableitungen sind. Dann ist nach der letzten Ableitung

Bei folgt aus der ersten Bedingung und daraus aus der zweiten Bedingung auch , was kein projektiver Punkt ist. Bei folgt aus der zweiten Bedingung , woraus aus der ersten Bedingung folgt, was schon ausgeschlossen ist. Also verbleibt noch die Möglichkeit

Wegen der Homogenität müssen wir nur noch Punkte der Form betrachten. Die erste Ableitung führt auf

und die zweite auf

Diese letzte Bedingung nach aufgelöst und in die erste eingesetzt führt auf

also

bzw.

Die dritte Potenz davon ist aber sicher nicht gleich . Es gibt also keinen Punkt , wo alle Ableitungen verschwinden.