Ebene projektive Kurve/C/Y^n ist F(X)/Kompakte riemannsche Fläche/Fakt/Beweis

Beweis

Wir verwenden Fakt. Auf der offenen Menge erhält man die Gleichung , wobei als Polynom in der einen Variablen keine mehrfache Nullstelle besitzt. Die partiellen Ableitungen sind und . Wenn diese beiden in einem Punkt der Kurve verschwinden, so ist und damit , was wegen der Nullstellenbedingung nicht sein kann. Auf dem Komplement wird die Gleichung zu

mit einem Vorfaktor , woraus folgt. Es gibt also nur noch den weiteren Punkt mit den Koordinaten . Eine affine Umgebung dieses Punktes ist , die dehomogenisierte Version der Gleichung auf diesem Teilstück ist . Die partielle Ableitung nach ist mit . Im Nullpunkt, der dem Punkt entspricht, ist dies gleich , daher verschwinden dort ebenfalls nicht alle partiellen Ableitungen.