Ebene projektive Kurve/F2/Ausschöpfung/Aufgabe

Wir betrachten die ebene affine Kurve

${}C=V(X^{2}Y^{4}+X^{4}Y^{2}+X+X^{4}+Y+Y^{4})\,$

über ${}K=\mathbb {Z} /(2)$ und die durch die Homogenisierung gegebene projektive Kurve

${}D=V_{+}(X^{2}Y^{4}+X^{4}Y^{2}+XZ^{5}+X^{4}Z^{2}+YZ^{5}+Y^{4}Z^{2})\,$

1. Zeige, dass ${}C$ glatt ist.
2. Man folgere, dass das Polynom ${}X^{2}Y^{4}+X^{4}Y^{2}+X+X^{4}+Y+Y^{4}$ irreduzibel ist.
3. Zeige, dass jeder Punkt aus ${}K^{2}$ zu ${}C$ gehört.
4. Zeige, dass jeder ${}K$-Punkt aus ${}{\mathbb {P} }_{K}^{2}$ zu ${}D$ gehört.
5. Zeige, dass ${}D$ nicht glatt ist.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen