Ebene projektive Kurve/Körper/Y^n ist F(X)/Glattheit/Fakt/Beweis

Beweis

Auf der offenen Menge ${}D_{+}(Z)$ erhält man die in Fakt beschriebene Situation, diese Punkte sind also glatt. Auf dem Komplement ${}V_{+}(Z)$ wird die Gleichung zu

${}0=G(X,0)=\alpha X^{d+1}\,$

mit einem Vorfaktor ${}\alpha \neq 0$, woraus ${}X=0$ folgt. Es gibt also nur noch den weiteren Punkt ${}P$ mit den Koordinaten ${}(0,1,0)$. Eine affine Umgebung dieses Punktes ist ${}D_{+}(Y)$, die affine Version der Gleichung auf diesem Teilstück ist ${}Z=G(X,Z)$. Die partielle Ableitung nach ${}Z$ ist ${}1+\sum \gamma _{ij}X^{i}Z^{j}$ mit ${}i+j=d$. Im Nullpunkt, der dem Punkt ${}P$ entspricht, ist dies gleich ${}1$, daher ist dies auch ein glatter Punkt.

Zur bewiesenen Aussage