Einheitskreis/R/Geradenbündel zu (X,1-Y)/Trigonometrische Liftung/Aufgabe/Lösung

Die Kreisgleichung ist natürlich erfüllt. Es ist unter Verwendung der trigonometrischen Additionstheoreme

${}{\begin{aligned}(1-X)Z&=(1-\cos t){\left(\cos {\frac {t}{2}}\right)}\\&={\left(\cos {\frac {t}{2}}\right)}{\left(1-{\left(\cos {\frac {t}{2}}\right)}^{2}+{\left(\sin {\frac {t}{2}}\right)}^{2}\right)}\\&={\left(\cos {\frac {t}{2}}\right)}{\left({\left(\sin {\frac {t}{2}}\right)}^{2}+{\left(\sin {\frac {t}{2}}\right)}^{2}\right)}\\&=2{\left(\cos {\frac {t}{2}}\sin {\frac {t}{2}}\right)}\sin {\frac {t}{2}}\\&=\sin t\sin {\frac {t}{2}}\\&=YW\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}YZ&=\sin t{\left(\cos {\frac {t}{2}}\right)}\\&=2{\left(\cos {\frac {t}{2}}\right)}{\left(\cos {\frac {t}{2}}\sin {\frac {t}{2}}\right)}\\&=2{\left(\cos {\frac {t}{2}}\right)}^{2}\sin {\frac {t}{2}}\\&={\left(1+{\left(\cos {\frac {t}{2}}\right)}^{2}-{\left(\sin {\frac {t}{2}}\right)}^{2}\right)}\sin {\frac {t}{2}}\\&=(1+\cos t)\sin {\frac {t}{2}},\end{aligned}}$

somit erfüllt das Bild auch die beiden anderen Gleichungen.

Die beiden anderen Eigenschaften sind klar, da ${}p$ die Projektion auf die ersten beiden Koordinaten ist und da Kosinus und Sinus keine gemeinsame Nullstelle haben.

Zur gelösten Aufgabe