Einheitswurzeln/Skalare Multiplikation/Eindimensional/Invariantenring/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper, der eine ${}r$-te primitive Einheitswurzel ${}\zeta$ besitzt. Wir betrachten die Operation von ${}\mu _{r}{\left(K\right)}$ auf ${}K$ und auf ${}K[X]$ durch skalare Multiplikation (siehe Beispiel und Beispiel). Der Fixring zu dieser Operation ist ${}K[X^{r}]$. Dazu muss man nur die Wirkungsweise des Erzeugers ${}\zeta$ der Gruppe verstehen und nach Fakt muss man nur die (eindimensionalen) homogenen Stufen ${}K[X]_{d}=K\cdot X^{d}$ betrachten. Die induzierte Operation ist ${}X^{d}\mapsto \zeta ^{d}X^{d}$. Dies ist genau dann die Identität, wenn ${}d$ ein Vielfaches von ${}r$ ist. Daher bilden die Stufen ${}K[X]_{mr}$ den Invariantenring.