Elementare und algebraische Zahlentheorie/13/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	4	1	4	3	2	3	4	4	0	3	2	6	0	45

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Befreundete Zahlen.
2. Die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen ${}f,g$.
3. Ein noetherscher Ring.
4. Die Spur zu einem Element ${}f\in L$ bei einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
5. Die Ordnung zu einem Element $f\in R,\,f\neq 0$, in einem diskreten Bewertungsring ${}R$.
6. Ein gebrochenes Hauptideal zu einem Zahlbereich ${}R$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Euler Kriterium/Fakt/Name
2. Kommutative Ringtheorie/Primideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Name
3. Zahlbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt/Name

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}999999$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme in ${}{\mathbb {Z} }[{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}7+4{\mathrm {i} }$ und ${}5+3{\mathrm {i} }$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Lösungen der Gleichung

${}x^{2}=x\,$

über ${}\mathbb {Z} /(6)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z} /(11)[X]$ den (normierten) größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome

$X^{4}+2X^{3}+2X^{2}+3\,\,\,{\text{ und }}\,\,\,X^{2}+7X+10.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, für welche ${}n\geq 2$ der Binomialkoeffizient

${\binom {n}{2}}$

eine Primzahl ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von ${}100!$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne ${}24^{1000000}$ in ${}\mathbb {Z} /(35)$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass ${}-3$ genau dann ein Quadratrest modulo einer Primzahl ${}p\neq 2$ ist, wenn ${}p=0,1\mod 3$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass jedes Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich ${}R$ eine ganze Zahl ${}m\neq 0$ enthält.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine ganze Zahl ${}n$ derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung

${}x^{2}+3x+{\frac {7}{3}}=0\,$

in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]$ liegen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich. Bestimme die Norm von ${}{\sqrt {D}}$ und von ${}{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}\mathbb {Z} _{n}$ die Nenneraufnahme zu ${}n$ (${}\mathbb {Z} _{n}$ besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von ${}n$ als Nenner schreiben kann). Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe ${}R$ mit

${}\mathbb {Z} \subseteq R\subseteq \mathbb {Z} _{n}\,$

gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von ${}n$.

Aufgabe (0 Punkte)