Elementare und algebraische Zahlentheorie/7/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 0 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 41 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {irreduzibles} {} Element $p$ in einen kommutativen Ring $R$.
}{Ein \stichwort {Hauptideal} {} in einem kommutativen Ring $R$.
}{Die \stichwort {erste Tschebyschow-Funktion} {.}
}{Eine \stichwort {algebraische Zahl} {} $z \in {\mathbb C}$.
}{Ein
\stichwort {ganzes Element} {}
\mathl{x \in S}{} bei einer Ringerweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Das \stichwort {gebrochene Ideal zu einem Divisor} {} $D$ in einem Zahlbereich $R$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine
\definitionsverweis {Nichteinheit}{}{}
$p$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
heißt irreduzibel, wenn eine Faktorisierung
\mathl{p=ab}{} nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
}{Ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
$\mathfrak a$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{\mathfrak a}
}
{ =} {(a)
}
{ =} {Ra
}
{ =} {\{ra:\, r \in R\}
}
{ } {}
}
{}{}{.}
heißt Hauptideal.
}{Die erste Tschebyschow-Funktion
\mathl{\vartheta (x)}{} ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \vartheta(x)
}
{ =} { \sum_{p\le x, p \text{ prim} } \ln (p)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben.
}{Eine Zahl
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} heißt algebraisch, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mathl{P\in \Q[X]}{} gibt mit
\mathl{P(z)=0}{.}
}{Das Element
\mathl{x \in S}{} heißt ganz
\zusatzklammer {über $R$} {} {,}
wenn $x$ eine
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
mit Koeffizienten aus $R$ erfüllt.
}{Zu einem Divisor
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} {\sum_{\mathfrak p} n_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nennt man
\mathdisp {{ \left\{ f \in Q( R) \mid \operatorname{div} (f) \geq D \right\} }} { }
das Gebrochene Ideal zum Divisor $D$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Das
\stichwort {quadratische Reziprozitätsgesetz} {}
für ungerade Primzahlen.}{Der Satz über das Transformationsverhalten der Diskriminante zu einer Basis in einer endlichen Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{Der Satz über die Korrespondenz von Idealen und Divisoren für Zahlbereiche.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es seien $p$ und $q$ zwei verschiedene ungerade
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{.}
Dann gilt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ p }{ q }\right) \cdot \left( \frac{ q }{ p }\right)
}
{ =} { (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2} }
}
{ =} { \begin{cases} -1 \, , \text{ wenn } p = q = 3 \mod 4 \, , \\ 1 \, , \text{ sonst} \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und seien
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} und
\mathl{c_1 , \ldots , c_n}{}
$K$-\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $L$. Der Basiswechsel werde durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{Tb
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{ { \left( t_{ij} \right) }_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben. Dann gilt für die
\definitionsverweis {Diskriminanten}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle (c_1 , \ldots , c_n)
}
{ =} { (\det( T))^2 \triangle (b_1 , \ldots , b_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind die Zuordnungen
\mathdisp {{\mathfrak a} \longmapsto \operatorname{div}({\mathfrak a}) \text{ und } D \longmapsto \operatorname{Id}(D)} { }
zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von $0$ verschiedenen
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
und der Menge der
\definitionsverweis {effektiven Divisoren}{}{.}}
\faktzusatz {Diese Bijektion übersetzt das Produkt von Idealen in die Summe von Divisoren.}
\faktzusatz {}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{7
}
{ =} {4+1+1+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
darstellbar mit vier Quadraten. Die einzigen Quadrate unterhalb von $7$ sind
\mathl{0,1,4}{.} Die $0$ trägt nicht zu einer minimalen Darstellung bei. Zweimal die $4$ ist schon zu groß, daher gibt es keine Darstellung als Summe von drei Quadraten.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (2+1)}
{
Es seien
\mathl{a,b}{} positive natürliche Zahlen. Die Summe der
\definitionsverweis {Stammbrüche}{}{}
ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ a } } + { \frac{ 1 }{ b } }
}
{ =} { { \frac{ b+a }{ ab } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass bei $a,b$
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
diese Darstellung gekürzt ist.
} {Zeige, dass im Allgemeinen diese Darstellung nicht gekürzt sein muss.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Es seien
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
teilerfremd und es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Wenn $p$ den Nenner
\mathl{ab}{} teilt, so teilt es
nach dem Lemma von Euklid
einen der Faktoren, sagen wir $a$. Dann teilt es wegen der Teilerfremdheit nicht auch $b$. Somit teilt es auch nicht
\mathl{a+b}{} und Zähler und Nenner sind teilerfremd.
} {Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {b
}
{ =} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2+2 }{ 2 \cdot 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 4 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und dies ist keine teilerfremde Darstellung.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1.5+1.5)}
{
(a) Bestimme für die Zahlen $3$, $5$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(5) \times \Z/(7)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 4 \!\! \mod 5 \text{ und } x = 3 \!\! \mod 7} { . }
}
{
(a) $(1,0,0)$
- Alle Vielfachen von
\mathl{5 \cdot 7=35}{} haben modulo $5$ und modulo $7$ den Rest $0$. Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. $35$ hat modulo $3$ den Rest $2$, somit hat $70$ modulo $3$ den Rest $1$. Also repräsentiert $70$ das Restetupel
\mathl{(1,0,0)}{.}
\mathl{(0,1,0)}{:} Hier betrachtet man die Vielfachen von $21$, und $21$ hat modulo $5$ den Rest $1$. Also repräsentiert $21$ das Restetupel
\mathl{(0,1,0)}{.}
\mathl{(0,0,1)}{:} Hier betrachtet man die Vielfachen von $15$, und $15$ hat modulo $7$ den Rest $1$. Also repräsentiert $15$ das Restetupel
\mathl{(0,0,1)}{.}
(b) Man schreibt
\zusatzklammer {in \mathlk{\Z/(3) \times \Z/(5) \times \Z/(7)}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (2,4,3)
}
{ =} {2(1,0,0)+4(0,1,0)+3(0,0,1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Lösung ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot 70 +4 \cdot 21 +3 \cdot 15
}
{ =} { 140+84+45
}
{ =} {269
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die minimale Lösung ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 269- 2 \cdot 105
}
{ = }{ 59
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Beweise den Satz, dass für einen \definitionsverweis {endlichen Körper}{}{} $K$ das Produkt aller von $0$ verschiedener Elemente aus $K$ gleich $-1$ ist.
}
{
Die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
hat in einem Körper nur die Lösungen $1$ und $-1$, die allerdings gleich sein können. Das bedeutet, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{1, -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
immer
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{x^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Damit kann man das Produkt aller Einheiten als
\mathdisp {1 (-1) x_1 x_1^{-1} \cdots x_k x_k^{-1}} { }
schreiben. Ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{-1
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ist das Produkt $-1$. Ist hingegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{-1
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so fehlt in dem Produkt der zweite Faktor und das Produkt ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Q[\sqrt{3}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{:}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 2 + \sqrt{3} & - \sqrt{3} \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & - 2 -3 \sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1- \sqrt{3} \\ 4 -2 \sqrt{3} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Wir schreiben das Gleichungssystem als
\mathdisp {(I) \, \, \, (2 + \sqrt{3}) x - \sqrt{3}y = 1 - \sqrt{3}} { }
\mathdisp {(II) \, \, \, { \frac{ 1 }{ 2 } } x -(2 + 3 \sqrt{3} )y =4 - 2 \sqrt{3}} { . }
Wir multiplizieren die zweite Zeile mit
\mathl{4+2 \sqrt{3}}{} und erhalten
\mathdisp {(III) \, \, \, (2 + \sqrt{3})x + ( -26-16 \sqrt{3})y = 4} { . }
Wir nehmen die Differenz der ersten und der dritten Zeile und erhalten
\mathdisp {(IV) \, \, \, ( 26+15 \sqrt{3})y = -3 - \sqrt{3}} { . }
Das inverse Element von
\mathl{( 26+15 \sqrt{3})}{} ist
\mathl{( 26-15 \sqrt{3})}{,} somit ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { ( 26-15 \sqrt{3}) ( -3 - \sqrt{3})
}
{ =} { - 33 + 19 \sqrt{3}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der Gleichung $(II)$ folgt daraus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x
}
{ =} {2( 4 -2 \sqrt{3} + (2+3 \sqrt{3}) y)
}
{ =} { 8 -4 \sqrt{3} + 2 (2+3 \sqrt{3}) ( -33 + 19 \sqrt{3})
}
{ =} { 8 -4 \sqrt{3} + 210 - 122 \sqrt{3}
}
{ =} { 218 - 126 \sqrt{3}
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Finde die kleinste Zahl $n \geq 100$ derart, dass zugleich das reguläre $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und dass $n$ eine Summe von zwei Quadraten ist.
}
{
$n$ muss einerseits die Form
\mathl{n=2^\alpha p_1 \cdots p_k}{} haben mit verschiedenen Fermat-Primzahlen, also
\mathl{3,5,17, 257}{,} etc. und andererseits muss jeder Primteiler von $n$ mit ungeradem Exponent modulo $4$ den Rest $0,1$ oder $2$ haben. Da $3$ in der ersten Bedingung allenfalls einfach vorkommt, darf $3$ überhaupt nicht vorkommen.
Wenn keine Fermat-Primzahlen vorkommt, so ist die kleinste Möglichkeit
\mathl{\geq 100}{} gleich $2^7=128$. Damit ist auch schon ausgeschlossen, dass $257$ oder eine größere Fermat-Primzahl vorkommt.
Wenn an Fermat-Primzahlen nur $5$ vorkommt, so ist die kleinste Möglichkeit
\mathl{\geq 100}{} gleich
\mathl{32 \cdot 5 = 160}{.}
Wenn nur $17$ vorkommt, so ist
\mathl{8 \cdot 17 =136}{} die kleinste Möglichkeit.
Wenn $5$ und $17$ vorkommen, so ist
\mathl{2 \cdot 5 \cdot 17 = 170}{} die kleinste Möglichkeit.
Also ist $128$ die Lösung.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {L
}
{ =} { \Q[ \sqrt{D} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {L} {L
} {}
eine
$\Q$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
erhält. Zeige, dass $\varphi$ die Multiplikation mit einem Element aus $L$ oder aber die Hintereinanderschaltung der
\definitionsverweis {Konjugation}{}{}
mit einer solchen Multiplikation ist.
}
{
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h
}
{ \defeq} { \varphi(1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und betrachten die Multiplikation
\maabbeledisp {\psi} {L} {L
} {x} {h x
} {.}
Diese Abbildung ist ebenfalls
$\Q$-\definitionsverweis {linear}{}{}
und bijektiv. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N(h)
}
{ =} { N( \varphi(1))
}
{ =} { N(1)
}
{ =} {1
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Norm von $h$ gleich $1$ und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N(\psi (x))
}
{ =} { N(hx)
}
{ =} {N(h) N(x)
}
{ =} { N(x)
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. ist ebenfalls normerhaltend. Wir schreiben nun mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi'
}
{ = }{ \psi^{-1} \circ \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \psi \circ \varphi'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als Hintereinanderschaltung. Die Abbildung $\varphi'$ ist ebenfalls $\Q$-linear und normerhalten und hat die zusätzliche Eigenschaft, dass $1$ auf $1$ abgebildet wird. Wir haben also zu zeigen, dass eine solche Abbildung die Identität oder die Konjugation ist. Nennen wir sie wieder $\varphi$. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi( \sqrt{D} )
}
{ =} { r +s \sqrt{D}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{r,s \in \Q}{.} Die Normbedingung liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -D
}
{ =} { r^2 -s^2 D
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(1+ \sqrt{D} )
}
{ =} {1+ r +s \sqrt{D}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Normbedingung liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1-D
}
{ =} { (1+r)^2 -s^2 D
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese beiden Bedingungen ergeben zusammen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (1+r)^2 -s^2 D
}
{ =} { 1 + r^2 -s^2 D
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2r
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ =} { \pm 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was der Identität bzw. der Konjugation entspricht.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit der Ordnungsfunktion ein \definitionsverweis {euklidischer Bereich}{}{} ist.
}
{
Es sei $\pi$ ein Erzeuger des maximalen Ideals von $R$. Es seien
\mathl{a,b \in R}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir müssen zeigen, dass es eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {qb +r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (r)
}
{ < }{ \operatorname{ord} \, (b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, sind wir mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q,r
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fertig. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{u \pi^s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{v \pi^t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit Einheiten $u,v$ und mit
\mathl{s,t \in \N.}{} Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ \geq} {t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { u \pi^s
}
{ =} { { \frac{ u }{ v } } \pi^{s-t} v \pi^t
}
{ =} { { \frac{ u }{ v } } \pi^{s-t} b
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ <} {t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { 0 \cdot b +a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (a)
}
{ =} { s
}
{ <} { t
}
{ =} { \operatorname{ord} \, (b)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Beweise den Satz über die Charakterisierung der Faktorialität eines Zahlbereiches mit Hilfe der Divisorenklassengruppe
}
{
Die Implikation
\mathl{(1) \Rightarrow (2)}{} folgt aus
Fakt.
\mathl{(2) \Rightarrow (3)}{.} Es sei also $R$
\definitionsverweis {faktoriell}{}{,}
und sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
$\neq 0$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{{\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
mit Primfaktorzerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ p_1 \cdots p_s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da ${\mathfrak p}$ ein Primideal ist, muss einer der Primfaktoren zu ${\mathfrak p}$ gehören, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{p_1
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(p)
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das von $p$ erzeugte Ideal ist ein Primideal, und in einem Zahlbereich ist
nach Fakt
jedes von $0$ verschiedene Primideal
\definitionsverweis {maximal}{}{,}
sodass hier
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(p)
}
{ = }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten muss. Auf der Seite der Divisoren gilt aufgrund von
Fakt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( p \right) }
}
{ = }{ 1 {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sodass ein Hauptdivisor vorliegt. Also sind alle Erzeuger der Divisorengruppe Hauptdivisoren und somit ist überhaupt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Div}(R)
}
{ =} { H
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die
\definitionsverweis {Divisorenklassengruppe}{}{}
ist trivial.
\mathl{(3) \Rightarrow (1)}{.} Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{DKG} { \left( R \right) }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorausgesetzt. Wir zeigen zunächst, dass jedes Primideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak p}
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Hauptideal ist. Nach Voraussetzung ist der Divisor ${\mathfrak p}$ ein Hauptdivisor, sodass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ = }{ \operatorname{div}(p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Aufgrund von
Fakt
entspricht dies auf der Idealseite der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ = }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{,}
sodass jedes Primideal ein Hauptideal ist. Für ein beliebiges Ideal
\mathbed {{\mathfrak a} \subseteq R} {}
{{\mathfrak a} \neq 0} {}
{} {} {} {,}
ist nach
Fakt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { {\mathfrak p}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak p}_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet aber, mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}_i
}
{ = }{(p_i)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass ${\mathfrak a}$ ein Hauptideal ist, das von
\mathl{{ p}_1^{r_1} \cdots {p}_k^{r_k}}{} erzeugt wird. Also liegt ein Hauptidealbereich vor.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}