Elementare und algebraische Zahlentheorie/9/Klausur


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 5 5 2 1 0 4 4 4 0 3 4 8 0 0 46




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das von einer Familie von Elementen , , in einem kommutativen Ring erzeugte Ideal.
  2. Ein quadratischer Rest.
  3. Eine endliche Körpererweiterung .
  4. Ein normaler Integritätsbereich.
  5. Reell-quadratische und imaginär-quadratische Zahlbereiche.
  6. Die Grundmasche zu einem Gitter .



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Struktur der Einheitengruppe von für eine Primzahl .
  2. Der Satz von Euklid über Primzahlen.
  3. Der Satz über das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in einem quadratischen Zahlbereich.



Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Untergruppen von genau die Teilmengen der Form

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl sind.



Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)

  1. Gibt es eine Primzahl derart, dass auch , , und Primzahlen sind?
  2. Gibt es mehr als eine Primzahl derart, dass auch , , und Primzahlen sind?
  3. Gibt es mehr als eine Primzahl derart, dass auch , und Primzahlen sind?



Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .

b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .



Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

a) Man gebe explizit eine natürliche Zahl an, die keinen Primteiler besitzt.

b) Es sei . Man gebe explizit ein normiertes Polynom vom Grad an, das keinen Primteiler vom Grad besitzt.



Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

und bestimme, ob ein Quadratrest modulo ist oder nicht ( ist eine Primzahl).



Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, ob die Abbildung

injektiv und ob sie surjektiv ist.



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe den Körper mit acht Elementen als einen Restklassenkörper von . Man gebe eine primitive Einheit in an.



Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für die Fakultät keine Quadratzahl ist.



Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und sei der zugehörige Zahlbereich. Es sei ein von verschiedenes Ideal in . Es seien Elemente, die eine -Basis von bilden und für die der Betrag der Diskriminante

unter all diesen Basen aus minimal sei.

Zeige, dass dann

ist.



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)