Elementare und algebraische Zahlentheorie/9/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 5 | 5 | 2 | 1 | 0 | 4 | 4 | 4 | 0 | 3 | 4 | 8 | 0 | 0 | 46 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Das von einer Familie von Elementen , , in einem kommutativen Ring erzeugte Ideal.
- Ein quadratischer Rest.
- Eine endliche Körpererweiterung .
- Ein normaler Integritätsbereich.
- Reell-quadratische und imaginär-quadratische Zahlbereiche.
- Die Grundmasche zu einem Gitter .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Struktur der Einheitengruppe von für eine Primzahl .
- Der Satz von Euklid über Primzahlen.
- Der Satz über das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in einem quadratischen Zahlbereich.
Aufgabe * (5 Punkte)
Zeige, dass die Untergruppen von genau die Teilmengen der Form
mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl sind.
Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)
- Gibt es eine Primzahl derart, dass auch , , und Primzahlen sind?
- Gibt es mehr als eine Primzahl derart, dass auch , , und Primzahlen sind?
- Gibt es mehr als eine Primzahl derart, dass auch , und Primzahlen sind?
Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)
a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .
b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .
Aufgabe * (1 Punkt)
Bestimme die Primfaktorzerlegung von .
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)
a) Man gebe explizit eine natürliche Zahl an, die keinen Primteiler besitzt.
b) Es sei . Man gebe explizit ein normiertes Polynom vom Grad an, das keinen Primteiler vom Grad besitzt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
und bestimme, ob ein Quadratrest modulo ist oder nicht ( ist eine Primzahl).
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Beschreibe den Körper mit acht Elementen als einen Restklassenkörper von . Man gebe eine primitive Einheit in an.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass für die Fakultät keine Quadratzahl ist.
Aufgabe * (8 Punkte)
Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und sei der zugehörige Zahlbereich. Es sei ein von verschiedenes Ideal in . Es seien Elemente, die eine -Basis von bilden und für die der Betrag der Diskriminante
unter all diesen Basen aus minimal sei.
Zeige, dass dann
ist.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)