Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

  1. Elemente besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler , und dieser lässt sich als Linearkombination der darstellen, d.h. es gibt Elemente mit .
  2. Es sei ein ungerade Primzahl. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. ist die Summe von zwei Quadraten, mit .
    2. ist die Norm eines Elementes aus .
    3. ist zerlegbar (nicht prim) in .
    4. ist ein Quadrat in .
    5. Es ist .
  3. Sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und der zugehörige Zahlbereich. Sei ein von verschiedenes Ideal in . Dann ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang ,