Elementare und algebraische Zahlentheorie/T1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	5	4	4	3	6	2	3	5	4	9	5	3	4	65

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Eine primitive Einheit in ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$.
3. Das Legendre-Symbol.
4. Ein pythagoreisches Tripel.
5. Eine Mersennesche Primzahl.
6. Eine Carmichael-Zahl.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
2. Der kleine Fermat.
3. Der Primzahlsatz.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.

Aufgabe * (5 Punkte)

Finde unter den Zahlen ${}\leq 1000$ diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}23+2{\mathrm {i} }$ und ${}1+23{\mathrm {i} }$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass für einen endlichen Körper ${}K$ das Produkt aller von ${}0$ verschiedener Elemente aus ${}K$ gleich ${}-1$ ist.

Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(360)$.

a) Schreibe ${}\mathbb {Z} /(360)$ als Produktring (im Sinne des chinesischen Restsatzes).

b) Wie viele Einheiten besitzt ${}\mathbb {Z} /(360)$?

c) Schreibe das Element ${}239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.

d) Berechne die Ordnung von ${}239$ in ${}\mathbb {Z} /(360)$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von ${}100!$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ an, das nicht zu ${}\mathbb {Z} [X]$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl ${}n$ gilt: ${}P(n)\in \mathbb {Z}$.

Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Es seien ${}a,b\geq 2$ und sei ${}n=ab$.

a) Zeige, dass die beiden Polynome ${}X^{a}-1$ und ${}X^{b}-1$ Teiler des Polynoms ${}X^{n}-1$ sind.

b) Es sei ${}a\neq b$. Ist ${}(X^{a}-1)(X^{b}-1)$ stets ein Teiler von ${}X^{n}-1$

c) Man gebe drei Primfaktoren von ${}2^{30}-1$ an.

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

$\left({\frac {1117}{1861}}\right)$

und bestimme, ob ${}1117$ ein Quadratrest modulo ${}1861$ ist oder nicht (${}1861$ ist eine Primzahl).

Aufgabe * (9 Punkte)

Zeige, dass die diophantische Gleichung

${}x^{4}+y^{4}=z^{2}\,$

keine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo ${}4$ den Rest ${}1$ besitzen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass das Produkt von ${}n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von ${}n!$ geteilt wird.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige: Für eine Primzahl ${}p$ ist die Mersennesche Zahl ${}M_{p}$ quasiprim zur Basis ${}2$.