Elliptische Kurve/Q/L-Funktion/Birch Swinnerton-Dyer/Bemerkung

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q}$ und sei ${}L(E,s)$ die ${}L$-Reihe zu ${}E$. Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer besagt, dass die Nullstellenordnung von ${}L(E,s)$ in ${}s=1$ (was voraussetzt, dass es eine holomorphe Fortsetzung in diesen Punkt gibt, siehe Fakt) mit dem Rang von ${}E$ übereinstimmt. Die Nullstellenordnung nennt man auch den analytischen Rang der elliptischen Kurve, so geht es bei der Vermutung also darum, dass der (gruppentheoretische) Rang mit dem analytischen Rang übereinstimmt. Dieses Problem gehört zu den sogenannten Milleniumsproblemen. Es ist bekannt (Ergebnisse von Kolyvagin, Gross, Zagier), dass wenn der analytische Rang gleich ${}0$ ist (die ${}L$-Funktion also keine Nullstelle in ${}s=1$ besitzt), dass dann der Rang gleich ${}0$ ist, und dass, wenn der analytische Rang gleich ${}1$ ist, dann auch der Rang gleich ${}1$ ist.

Ein Spezialfall dieser Vermutung ist die Behauptung, dass ${}L$ genau dann eine Nullstelle in ${}s=1$ besitzt, wenn der Rang ${}\geq 1$ ist, was äquivalent dazu ist, dass ${}E$ unendlich viele rationale Punkte besitzt. Davon ist die Rückrichtung bekannt.