Endlichdimensionaler Vektorraum/Lineare Abbildung/Zwei Haupträume/Fakt/Beweis

Beweis

Das charakteristische Polynom von ${}\varphi$ sei

${}\chi _{\varphi }=(X-\lambda )^{k}(X-\delta )^{\ell }F\,,$

wobei in ${}F$ weder ${}\lambda$ noch ${}\delta$ eine Nullstelle sei. Nach Fakt, angewendet auf ${}Q=(X-\delta )^{\ell }F$, ist

${}\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\cap \operatorname {kern} Q(\varphi )=0\,.$

Wegen ${}\operatorname {Haupt} _{\delta }(\varphi )\subseteq \operatorname {kern} Q(\varphi )$ folgt daraus sofort

${}\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\cap \operatorname {Haupt} _{\delta }(\varphi )=0\,.$

Zur bewiesenen Aussage