Endliche Bewegungsgruppe/Ebene/Diedergruppe/Textabschnitt


Es sei eine endliche Untergruppe der linearen Bewegungsgruppe der reellen Ebene.

Dann ist eine zyklische Gruppe.

Jedes Element aus ist nach Fakt eine Drehung der Ebene um einen bestimmten Winkel . Wir betrachten den surjektiven Gruppenhomomorphismus

der einen Winkel auf die zugehörige Drehung abbildet. Es sei das Urbild von unter dieser Abbildung, d.h. besteht aus allen Drehwinkeln zu Drehungen, die zu gehören. Die Gruppe wird von einem Repräsentantensystem für die Elemente aus zusammen mit erzeugt. Insbesondere ist also eine endlich erzeugte Untergruppe von . Da jedes Gruppenelement aus eine endliche Ordnung besitzt, muss jedes die Gestalt mit einer rationalen Zahl haben. Dies bedeutet, dass eine endlich erzeugte Untergruppe von ist. Damit ist isomorph zu einer endlich erzeugten Untergruppe der rationalen Zahlen. Nach Aufgabe ist zyklisch, sagen wir mit einem eindeutig bestimmten Winkel . Dann ist die Gruppe als Bild von ebenfalls zyklisch.


Der eindeutig bestimmte Winkel ist dabei , wobei die Gruppenordnung von ist. Die Gruppe besteht aus den Drehmatrizen

Wenn man auch noch uneigentliche Symmetrien zulässt, so gibt es noch eine weitere Familie von endlichen Untergruppen der , nämlich die Diedergruppen.


Zu einem regelmäßigen -Eck () heißt die Gruppe der (eigentlichen oder uneigentlichen) linearen Symmetrien die Diedergruppe .

Die Diedergruppe besteht aus den Drehungen des -Ecks und aus den Achsenspiegelungen an den folgenden Achsen durch den Nullpunkt: bei gerade die Achsen durch gegenüberliegende Eckpunkte und gegenüberliegende Kantenmittelpunkte, bei ungerade die Achsen durch einen Eckpunkt und einen gegenüberliegenden Kantenmittelpunkt.
In beiden Fällen besteht die Diedergruppe aus Elementen.

Im Raum lassen sich die Diedergruppen als eigentliche Symmetriegruppen einer Doppelpyramide über einem regelmäßigen -Eck realisieren.