Existenz. Wir wenden
Fakt
auf den Grundkörper und das Polynom an und erhalten einen Körper der
Charakteristik
, über dem in Linearfaktoren zerfällt. Nach
Fakt
gibt es dann einen Unterkörper von , der aus genau Elementen besteht.
Eindeutigkeit. Es seien und zwei Körper mit Elementen. Es sei ein primitives Element, das nach
Fakt existiert. Daher ist , wobei das
Minimalpolynom
von ist. Da die Ordnung besitzt, gilt für jede Einheit und damit überhaupt für alle . D.h., dass jedes Element von eine Nullstelle von ist und dass daher über in Linearfaktoren zerfällt. Da insbesondere ist, muss das Minimalpolynom ein Teiler von sein, also
.
Nun zerfällt
(aus den gleichen Gründen)
das Polynom auch über und insbesondere hat eine Nullstelle . Der Einsetzungshomomorphismus liefert einen Ringhomomorphismus
-
Da beides Körper sind, muss dieser injektiv sein. Da links und rechts jeweils -elementige Mengen stehen, muss er auch surjektiv sein.