Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Existenz. Wir wenden Fakt auf den Grundkörper und das Polynom an und erhalten einen Körper der Charakteristik , über dem in Linearfaktoren zerfällt. Nach Fakt gibt es dann einen Unterkörper von , der aus genau Elementen besteht.

Eindeutigkeit. Seien und zwei Körper mit Elementen. Es sei ein primitives Element, das nach Fakt existiert. Daher ist , wobei das Minimalpolynom von ist. Da die Ordnung besitzt, gilt für jede Einheit und damit überhaupt für alle . D.h., dass jedes Element von eine Nullstelle von ist und dass daher über in Linearfaktoren zerfällt. Da insbesondere ist, muss das Minimalpolynom ein Teiler von sein, also . Nun zerfällt (aus den gleichen Gründen) das Polynom auch über und insbesondere hat eine Nullstelle . Der Einsetzungshomomorphismus liefert einen Ringhomomorphismus

Da beides Körper sind, muss dieser injektiv sein. Da links und rechts jeweils -elementige Mengen stehen, muss er auch surjektiv sein.