Endliche Körper/Körper/X^q-X zerfällt/Körper mit q Elementen/Fakt mit Beweisklappe

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p>0$, sei ${}q=p^{e}$, ${}e\geq 1$. Das Polynom ${}X^{q}-X$ zerfalle über ${}K$ in Linearfaktoren.

Dann ist

${}M={\left\{x\in K\mid x^{q}=x\right\}}\,$

ein Unterkörper von ${}K$ mit ${}q$ Elementen.

Beweis

Nach Fakt ist ${}M$ ein Unterkörper von ${}K$, und nach Fakt besitzt er höchstens ${}q$ Elemente. Es ist also zu zeigen, dass ${}F=X^{q}-X$ keine mehrfache Nullstellen hat. Dies folgt aber aus der formalen Ableitung ${}F'=-1$ und Aufgabe.

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