Endliche Körpererweiterung/C/Basis/Diskriminante/Einbettungsbeschreibungen/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist die Spur eines Elementes ${}z\in L$ gleich der Summe ${}\sum _{j=1}^{n}\tau _{j}(z)$. Für ein Produkt ${}wz$ ist somit

${}\operatorname {Spur} {\left(wz\right)}=\sum _{j=1}^{n}\tau _{j}(wz)=\sum _{j=1}^{n}\tau _{j}(w)\tau _{j}(z)\,.$

Insbesondere ist

${}\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{k}\right)}=\sum _{j=1}^{n}\tau _{j}(b_{i})\tau _{j}(b_{k})\,.$

Somit ist

${}{\left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{k}\right)}\right)}_{1\leq i,k\leq n}={{\left(\tau _{j}(b_{i})\right)}^{\text{tr}}}{\left(\tau _{j}(b_{k})\right)}\,$

und daher nach Fakt

${}{\begin{aligned}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})&=\det \left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{k}\right)}\right)\\&={\left(\det \left(\tau _{j}(b_{i})\right)\right)}^{2}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage