Endliche Körpererweiterung/Element/Charakteristisches Polynom/Fakt/Beweis

Beweis

Die Zuordnung

$L\longrightarrow \operatorname {End} (L),\,f\longmapsto \mu _{f},$

ist ein injektiver Ringhomomorphismus. Es sei ${}\chi _{}$ das charakteristische Polynom von ${}\mu _{f}$. Nach Cayley-Hamilton ist

${}\chi _{}(\mu _{f})=0\,$

im Endomorphismenring. Damit ist auch

${}\chi _{}(f)=0\,$

in ${}K[X]$. Nach Fakt ist somit das Minimalpolynom ein Teiler des charakteristischen Polynoms. Bei ${}L=K[f]$ besitzt das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom den gleichen Grad, also stimmen sie überein.

Zur bewiesenen Aussage