Endliche Körpererweiterung/Gradformel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung


Wir setzen und . Es sei eine -Basis von und eine -Basis von . Wir behaupten, dass die Produkte

eine -Basis von

bilden. Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum über aufspannen. Es sei dazu . Wir schreiben

Wir können jedes als

 mit Koeffizienten ausdrücken. Das ergibt

Daher ist eine -Linearkombination der Produkte .
Um zu zeigen, dass diese Produkte linear unabhängig sind, sei

angenommen mit . Wir schreiben dies als . Da die linear unabhängig über sind und die Koeffizienten der zu gehören folgt, dass ist für jedes . Da die linear unabhängig über sind und ist folgt, dass ist für alle .