Endliche Körpererweiterung/Normal und Zerfällungskörper/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung


Sei normal. Wegen der vorausgesetzten Endlichkeit ist . Zu sei das Minimalpolynom. Wegen der Normalität zerfällt jedes in in Linearfaktoren. Daher ist der Zerfällungskörper des Produktes .
Es sei nun ein Zerfällungskörper, und sei die Faktorzerlegung zu den Nullstellen , die den Körper erzeugen. Wir werden das Kriterium Fakt  (4) anwenden. Es sei also eine Körpererweiterung und sei

ein -Algebrahomomorphismus. Es ist dann

da sich die Koeffizienten von nicht ändern (vergleiche Fakt), und somit gehört zur Nullstellenmenge und damit insbesondere zu . Daher gilt generell

.