Endliche Körpererweiterung/Separable Elemente/Beliebiger Zerfällungskörper/Grad und Einbettungsanzahl/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über ${}n$, bei ${}n=0$ ist der Grad der Körpererweiterung gleich ${}1$ und es gibt auch nur die ${}K$-Einbettung ${}K\subseteq M$. Es sei die Aussage für ${}n$ bewiesen. Wir betrachten die Körperkette

${}K\subseteq K'=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\subseteq K'[x_{n+1}]=L\,.$

Wir wissen also, dass es ${}\operatorname {grad} _{K}K'$ verschiedene ${}K$-Einbettungen von ${}K'$ nach ${}M$ gibt. Aufgrund der Gradformel genügt es zu zeigen, dass es für ${}K'\subseteq K'[x_{n+1}]=L$ so viele ${}K'$-Einbettungen von ${}L$ in ${}M$ gibt, wie es der Körpergrad ${}\operatorname {grad} _{K'}L$ vorgibt. Es genügt also, den Fall ${}n=1$ zu beweisen, und dieser folgt aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage