Endliche Symmetriegruppe/Würfel aus numerischer Bedingung/Permutationsgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Halbachsenklasse ${}K_{2}$ der Ordnung ${}3$, die also ${}8$ zueinander äquivalente Halbachsen besitzt. Zu einer solchen Halbachse ${}H$ muss die entgegengesetzte Halbachse ebenfalls in einer der Halbachsenklassen liegen, und zwar in einer mit der gleichen Ordnung. Daher gehört auch ${}-H$ zu ${}K_{2}$, sodass an ${}K_{2}$ insgesamt vier Achsen beteiligt sind. Die Menge dieser Achsen nennen wir ${}{\mathfrak {A}}$. Wir betrachten den Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \operatorname {Perm} ({\mathfrak {A}}),\,g\longmapsto {\left(\sigma _{g}:A\mapsto g(A)\right)}.$

Hier wird also nur geschaut, was mit den Achsen passiert, nicht, was mit den Halbachsen passiert. Es können nicht drei dieser vier Achsen in einer Ebene liegen. Wären nämlich ${}A_{1},A_{2},A_{3}\subseteq E$, so würde eine Dritteldrehung ${}f$ um ${}A_{1}$ die äquivalenten Achsen ${}f(A_{2})$ und ${}f(A_{3})$ hervorbringen, die aber nicht in der Ebene ${}E$ liegen können und die nicht beide gleich ${}A_{4}$ sein können. Das Element ${}g\in G$ habe die Eigenschaft, dass ${}\sigma _{g}$ die Identität ist, dass also alle Geraden ${}A\in {\mathfrak {A}}$ auf sich abgebildet werden. Nach Aufgabe muss ${}g$ die Identität sein. Der Gruppenhomomorphismus ist also nach dem Kernkriterium injektiv und daher muss eine Isomorphie vorliegen. Da man diese Überlegung insbesondere für die Würfelgruppe durchführen kann, ergibt sich auch die Isomorphie zwischen der Würfelgruppe und der Permutationsgruppe ${}S_{4}$.

Zur bewiesenen Aussage