Endliche Symmetriegruppe/Würfel und Oktaeder aus numerischer Bedingung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Halbachsenklasse ${}K_{2}$ der Ordnung ${}3$, die also ${}8$ zueinander äquivalente Halbachsen besitzt. Zu einer solchen Halbachse ${}H$ muss die entgegengesetzte Halbachse ebenfalls in einer der Halbachsenklassen liegen, und zwar in einer mit der gleichen Ordnung. Daher gehört auch ${}-H$ zu ${}K_{2}$, sodass an ${}K_{2}$ insgesamt vier Achsen beteiligt sind. Die Menge dieser Achsen nennen wir ${}{\mathfrak {A}}$. Wir betrachten den Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \operatorname {Perm} ({\mathfrak {A}}),\,g\longmapsto {\left(\sigma _{g}:A\mapsto g(A)\right)}.$

Hier wird also nur geschaut, was mit den Achsen passiert, nicht was mit den Halbachsen.

Es können nicht drei dieser vier Achsen in einer Ebene liegen. Wären nämlich ${}A_{1},A_{2},A_{3}\subseteq E$, so würde eine Dritteldrehung ${}f$ um ${}A_{1}$ die äquivalenten Achsen ${}f(A_{2})$ und ${}f(A_{3})$ hervorbringen, die aber nicht in der Ebene ${}E$ liegen können und die nicht beide gleich ${}A_{4}$ sein können. Das Element ${}g\in G$ habe die Eigenschaft, dass ${}\sigma _{g}$ die Identität ist, dass also alle Geraden ${}A\in {\mathfrak {A}}$ auf sich abgebildet werden. Nach Aufgabe muss ${}g$ die Identität sein. Der Gruppenhomomorphismus ist also nach dem Kernkriterium injektiv und daher muss eine Isomorphie vorliegen.

Zur bewiesenen Aussage