Endliche Untergruppe/Bewegungsgruppe/Affin/Gemeinsamer Fixpunkt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}n={\#\left(G\right)}$ die Ordnung der Gruppe. Es sei ${}P\in E$ ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die baryzentrische Kombination

${}Q:=\sum _{g\in G}{\frac {1}{n}}g(P)\,.$

Da jedes ${}h\in G$ insbesondere eine affin-lineare Abbildung ist, gilt nach Fakt die Gleichheit

${}h(Q)=h{\left(\sum _{g\in G}{\frac {1}{n}}g(P)\right)}=\sum _{g\in G}{\frac {1}{n}}h(g(P))=\sum _{g\in G}{\frac {1}{n}}(h\circ g)(P)\,.$

Da eine Gruppe vorliegt, durchläuft die Menge ${}h\circ g$, ${}g\in G$, einfach die gesamte Gruppe. Deshalb ist der Ausdruck rechts gleich ${}Q$ selbst, und somit ist ${}Q$ ein Fixpunkt für alle ${}h\in G$. Wir wählen ${}Q$ als Ursprung und können dann ${}E$ mit ${}V$ identifizieren, wodurch wegen Fakt die affin-linearen Abbildungen zu linearen Abbildungen werden. Dadurch erhalten wir ${}G$ als Untergruppe der Isometriegruppe von ${}V$. Da ${}V$ isometrisch zum ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt ist, ist ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{n}$.

Zur bewiesenen Aussage