Endliche Wahrscheinlichkeitsräume/Produkt/Einführung/Textabschnitt
Eine Münze wird zweimal unabhängig voneinander hintereinander geworfen, und wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeit, wie oft dabei Zahl fällt. Die Möglichkeiten sind . Diese sind aber nicht gleichwahrscheinlich, sondern die ist deutlich wahrscheinlicher als die und die . Wenn man das Ereignis mit der möglichen Wertemenge beschreibt, so liegt kein Laplace-Raum vor. Es ist besser, die Gesamtsituation durch den Produktraum zu beschreiben, wobei die Paare daraus die möglichen Ausgänge des Gesamtexperimentes bezeichnen, bei dem das Ergebnis beim ersten Wurf an erster und das Ergebnis beim zweiten Wurf an zweiter Stelle notiert wird. Die möglichen Ergebnisse sind somit
Diese Elementarereignisse sind gleichwahrscheinlich, d.h. mit diesem Produktraum wird das Gesamtexperiment durch einen Laplace-Raum beschrieben, bei dem jedes Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit besitzt. Die ursprüngliche Frage nach der Wahrscheinlichkeit, wie oft insgesamt Zahl geworfen wird, wird mit Hilfe dieses Produktraumes dadurch beantwortet, dass man zählt, wie viele der Elementarereignisse zur Summenanzahl führen. Somit besitzt keinmal Zahl die Wahrscheinlichkeit , einmal Zahl die Wahrscheinlichkeit und zweimal Zahl die Wahrscheinlichkeit .
Die mehrfache Hintereinanderausführung eines Experimentes wird durch die Produktmenge, die Produktdichte und das Produktmaß mathematisch realisiert.
Es seien endliche Wahrscheinlichkeitsräume mit zugehörigen Dichten . Dann nennt man die Produktmenge zusammen mit der durch
gegebenen Wahrscheinlichkeitsdichte den Produktraum der Wahrscheinlichkeitsräume.
Häufig nimmt man in jeder Komponente den gleichen Wahrscheinlichkeitsraum , etwa, wenn man die -fache Hintereinanderausführung eines Experimentes untersuchen möchte. Für den Produktraum schreibt man dann kurz .
Es soll zehnmal mit einer Münze hintereinander geworfen werden. Mit dem Grundraum
wird dies dann mit dem Produktraum
beschrieben, die Elemente im Produktraum dokumentieren einen möglichen Ausgang des Gesamtexperimentes, es handelt sich um sämtliche Kombinationen der Länge aus oder , „typische“ Elemente sind
Diese haben alle die Wahrscheinlichkeit
Es seien endliche Wahrscheinlichkeitsräume und
der Produktraum. Dann gelten folgende Aussagen.
- Der Produktraum ist in der Tat ein Wahrscheinlichkeitsraum.
- Für Teilmengen ist
Es seien die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichten.
- Unter Verwendung des allgemeinen Distributivgesetzes in der Form von
Aufgabe
gilt
- Es ist entsprechend
Zu Laplace-Räumen mit
ist der Produktraum ebenfalls ein Laplace-Raum mit Elementen. Dies ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Produktraumes und aus Fakt.