Endlicher Basiskörper/Restklassenalgebra/Linearer Frobenius/Fixpunktcharakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz von (1) nach (2) gilt, da mit ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ und ${}R\otimes _{K}{\overline {K}}={\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}{\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Kern von ${}Q$ einem maximalen Ideal der Form ${}(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})$ mit ${}a_{i}\in K$ entspricht, und dies den Homomorphismus festlegt.

Von (1) nach (3). Es sei ${}L\subseteq {\overline {K}}$ das Bild des zusammengesetzten Ringhomomorphismus ${}P$

$R\longrightarrow R\otimes _{K}{\overline {K}}{\stackrel {Q}{\longrightarrow }}{\overline {K}}.$

Wegen ${}\Phi ^{*}(Q)=Q$ ist auch

${}(F^{e})^{*}(P)=P\,.$

Aus Fakt  (4) folgt ${}L=K$. Es liegt also ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}R&{\stackrel {P}{\longrightarrow }}&K&\\\downarrow &&\downarrow &\\R\otimes _{K}{\overline {K}}&{\stackrel {Q}{\longrightarrow }}&{\overline {K}}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor. Wir behaupten

${}Q=P\otimes \operatorname {Id} _{\overline {K}}\,.$

Da ${}Q$ ${}{\overline {K}}$-linear ist, gilt

${}Q(f\otimes a)=aQ(f\otimes 1)=aP(f)=P(f)\otimes \operatorname {Id} _{\overline {K}}(a)=(P\otimes \operatorname {Id} _{\overline {K}})(f\otimes a)\,,$

woraus die Behauptung folgt.

Von (3) nach (1) folgt aus Fakt  (3).

Zur bewiesenen Aussage