Endlicher Körper/Glatte projektive Kurve/Stark semistabil/Grad 0/Endlich trivalisierbar/Fakt/Beweis

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Da ${}\varphi ^{*}E$ trivial ist, gilt dies auch für ${}F^{e*}(\varphi ^{*}E)=\varphi ^{*}(F^{e*}E)$. Daraus folgt, dass die ${}F^{e*}E$ semistabil sind.
${}(2)\Rightarrow (3)$. Das Bündel ${}E$ ist über einem endlichen Körper definiert. Es gibt aber überhaupt nur endlich viele Isomorphieklassen von semistabilen Vektorbündel vom Grad ${}0$, die über diesem Körper definiert sind. Daher muss es in der Familie ${}F^{e*}E$, ${}e\in \mathbb {N}$, eine Wiederholung geben.
${}(3)\Rightarrow (1)$. Wir schreiben die Voraussetzung als ${}F^{(n-m)*}(F^{m*}E)\cong F^{m*}E$. Aufgrund von Fakt gibt es eine étale Trivialisierung ${}\varphi \colon Y\rightarrow X$ von ${}E$. Somit ist ${}\varphi \circ F^{m}$ ein endlicher Morphismus, der ${}E$ trivialisiert.

Zur bewiesenen Aussage