Endomorphismus/Bilinearform/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$ -Vektorraum mit Skalarprodukt. Ein Endomorphismus

\varphi \colon V\longrightarrow V

induziert dann mit Hilfe des Skalarproduktes eine Form ${}\Psi _{\varphi }$ , die durch

{}\Psi _{\varphi }(v,w)=\left\langle \varphi (v),w\right\rangle \,

definiert ist. Dafür gelten die folgenden Eigenschaften.

Lemma

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$ -Vektorraum mit Skalarprodukt. Dann gelten folgende Aussagen.

Durch die Zuordnung
$\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}\longrightarrow \operatorname {Sesq} _{}{\left(V\right)},\,\varphi \longmapsto \Psi _{\varphi },$

wird einem Endomorphismus eine Sesquilinearform zugeordnet.

Diese Zuordnung ist linear und bei endlichdimensionalem ${}V$ bijektiv.

Es sei ${}V$ endlichdimensional. Der Endomorphismus ist genau dann bijektiv, wenn ${}\Psi _{\varphi }$ nicht ausgeartet ist.

Es sei ${}V$ endlichdimensional. Der Endomorphismus ist genau dann selbstadjungiert, wenn ${}\Psi _{\varphi }$ hermitesch ist.

Beweis

(1). Es ist

{}{\begin{aligned}\psi _{\varphi }(av_{1}+bv_{2},w)&=\left\langle \varphi (av_{1}+bv_{2}),w\right\rangle \\&=\left\langle a\varphi (v_{1})+b\varphi (v_{2}),w\right\rangle \\&=a\left\langle \varphi (v_{1}),w\right\rangle +b\left\langle \varphi (v_{2}),w\right\rangle \\&=a\psi _{\varphi }(v_{1},w)+b\psi _{\varphi }(v_{2},w)\end{aligned}}

und

{}{\begin{aligned}\psi _{\varphi }(v,aw_{1}+bw_{2})&=\left\langle \varphi (v),aw_{1}+bw_{2}\right\rangle \\&={\overline {a}}\left\langle \varphi (v),w_{1}\right\rangle +{\overline {b}}\left\langle \varphi (v),w_{2}\right\rangle \\&={\overline {a}}\psi _{\varphi }(v,w_{1})+{\overline {b}}\psi _{\varphi }(v,w_{2}),\end{aligned}}

also ist die Zuordnung in der ersten Komponente linear und in der zweiten Komponente semilinear. Daher ist ${}\Psi _{\varphi }$ eine Sesquilinearform.

(2). Die Linearität ergibt sich aus der Linearität des Skalarproduktes in der ersten Komponente. Im endlichdimensionalen Fall stehen links und rechts Vektorräume der Dimension ${}{\left(\dim _{K}{\left(V\right)}\right)}^{2}$ , es genügt also, die Injektivität zu zeigen. Bei ${}\Psi _{\varphi }=0$ ist ${}\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =0$ für alle ${}v,w$ , sodass insbesondere ${}\left\langle \varphi (v),\varphi (v)\right\rangle =0$ und somit ${}\varphi (v)=0$ gilt.

(3). Wenn ${}\varphi$ nicht bijektiv ist, so sei ${}v\in \operatorname {kern} \varphi$ , ${}v\neq 0$ . Dann ist ${}\Psi _{\varphi }(v,-)$ die Nullabbildung in der zweiten Komponente und die Form ist ausgeartet. Es sei umgekehrt ${}\Psi _{\varphi }(-,-)$ ausgeartet. Dann gibt es einen Vektor ${}v\in V$ , ${}v\neq 0$ , derart, dass ${}\left\langle \varphi (v),-\right\rangle$ die Nullabbildung ist. Da ein Skalarprodukt nicht ausgeartet ist, folgt ${}\varphi (v)=0$ und damit ist ${}\varphi$ nicht bijektiv.

(4). Im selbstadjungierten Fall ist

{}\Psi _{\varphi }(v,w)=\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\left\langle v,\varphi (w)\right\rangle ={\overline {\left\langle \varphi (w),v\right\rangle }}={\overline {\Psi _{\varphi }(w,v)}}\,.

Die Umkehrung folgt aus

{}\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\Psi _{\varphi }(v,w)={\overline {\Psi _{\varphi }(w,v)}}={\overline {\left\langle \varphi (w),v\right\rangle }}=\left\langle v,\varphi (w)\right\rangle \,.

\Box