Entwicklung der Studierendenzahl an der Uni Landau

Modellierungsthema (A1)

Zielsetzung

Ziel ist es, die Entwicklung der Studierendenzahl für die nächsten 5, 10 und 15 Jahre zu analysieren.

Berücksichtigt werden dabei folgende Eigenschaften:

Wachstum durch eine obere Schranke (maximale Höhrsaal Kapazität) begrenzt? Beschränktes Wachstum(Sättigungswachstum)

Fachwissenschaftliche Grundlagen

Populationsmodell

Sättigungskurve

Regression

Arithmetisches Mittel

Softwarenutzung

Tabellenkalkulationsprogramm
Geogebra

Zuordnung des Themas zu den Nachhaltigkeitszielen der Vereinten Nationen (A4)

Modellierungszyklen (A2,A3)

Zyklus 1

Zu Beginn wurden die Studierendenzahlen aller Wintersemester von 2003/04 bis 2017/18 recherchiert und in Excel zusammengetragen. Anschließend wurden die Differenzen der aufeinanderfolgenden Jahren nach folgendem Muster berechnet:

x=-14 entspricht dem Ausgangs-Wintersemester 2003/04.

x=0 entspricht hierbei dem aktuellen Wintersemester 2017/18.

Δy=y_i-y_i-1 (i ∈ {N})

Die berechneten Werte sind in folgender Tabelle aufgeführt.

Studierendenzahlen ab dem Wintersemester 03/04:

x	Wintersemester	Studierendenanzahl	Differenz
-14	03/04	4890	0
-13	04/05	5208	+318
-12	05/06	5571	+363
-11	06/07	6060	+489
-10	07/08	6312	+252
-9	08/09	5955	-357
-8	09/10	6293	+338
-7	10/11	6338	+45
-6	11/12	6523	+185
-5	12/13	6972	+449
-4	13/14	7284	+312
-3	14/15	7683	+399
-2	15/16	7727	+44
-1	16/17	8120	+393
0	17/18	8383	+263

Aus den berechneten Differenzen wurde anschließend das arithmetische Mittel berechnet. Somit ergibt sich ein durchschnittliches Wachstum von 249,5 Studenten pro Wintersemester.

Hiermit lässt sich nun eine lineare Funktion der Form f(x) = mx + b mit der Steigung m = 249,5 und dem Y-Achsenabschnitt b = 8383 erstellen.

f(x) = 249,5x + 8383

Anhand dieser Funktion lassen sich nun die Werte für die nächsten 5, 10 und 15 Jahre berechnen. So ergeben sich folgende Werte:

in Jahren	Studierendenanzahl	gerundet
5	9.630,5	9.631
10	10.878	10.878
15	12.125,5	12.126

Zyklus 2

Erstellen einer Exponentialfunktion zur Darstellung der Veränderung der Studierendenzahlen mit Hilfe der in Excel einfügbaren Trendlinie.

in Jahren	Studierendenanzahl	gerundet
5	9.957,7	9.958
10	11.862,1	11.862
15	14.130,7	14.131

Diese Werte sind aufgrund zweier Tatsachen unrealistisch. Einerseits ist das Wachstum nicht abhängig von der aktuellen Anzahl der Studierenden,wie das bei einem Populationsmodell beispielsweise im Tierreich der Fall ist. Dies kann mithilfe einer Exponentialfunktion dargestellt werden. Andererseits kann die Studierendenzahl nicht ins Unendliche steigen, da irgendwann die maximale Kapazität erreicht ist. Folglich gibt es eine obere Grenze, die die Aufnahme neuer Studentinnen und Studenten beschränkt.

Zyklus 3.1

Erstellen einer Wachstumsfunktion angelehnt an ein Populationsmodell unter Berücksichtigung einer oberen Schranke (maximale Kapazität der Universität).

Dies geschieht mithilfe des Verlustmodells.

$p(x)=5121e^{0,035x}$

$p(0)=5121~~~~(I)$

$p(x)={\frac {ap(0)}{bp(0)+{(a-bp(0))}e^{-a{(x-x_{0})}}}}~~~~(II)$

${\frac {a}{b}}=Grenzwert=10.000$

Dieser wird angenommen, da keine genauen Daten vorliegen. Jedoch wäre die Rechnung analog, sollte sich die maximale Kapazität der Universität verändern.

$\Rightarrow a=10.000b~~~~(III)$

I und III in II: $p(x)={\frac {10.000\cdot b\cdot 5121}{5121\cdot b+{(10.000\cdot b-5121\cdot b)}e^{-10.000\cdot b{(x-x_{0})}}}}~~~~(IV)$

Ausklammern und kürzen von $b$ in (IV)

$p(x)={\frac {10.000\cdot 5121}{5121+{(10.000-5121)}e^{-10.000\cdot b{(x-x_{0})}}}}~~~~(IV)$

Einsetzen eines beliebigen Punktes zur Berechnung der Parameter a und b. Hier beispielhaft mit x = 5 und p(5) = 6100

$6100={\frac {10.000\cdot 5121}{5121+{(10.000-5121)}e^{-10.000\cdot b{(5-0)}}}}$

$6100={\frac {51.210.000}{5121+4879e^{-50.000\cdot b}}}~~~~(V)$

Umstellen der Gleichung (V) nach $b$

$6100\cdot {5121+4879e^{-50.000\cdot b}}={51.210.000}~~~|:6100$

${5121+4879e^{-50.000\cdot b}}=8395,082~~~~|-5121$

$4879e^{-50.000\cdot b}=3274,082~~~~|:4879$

$e^{-50.000\cdot b}=0,67~~~~|ln()$

$-50.000\cdot b=ln(0,67)~~~~|:(-50.000)$

$b={\frac {ln(0,67)}{-50.000}}$

$b=0,0000080096~~~~(VI)$

Setze (VI) in (III)

$a=10000\cdot 0,0000080096$

$a=0,080096$

Setze $a$ und $b$ in (II)

$p(x)={\frac {0,080096\cdot 5121}{0,0000080096\cdot 5121+{(0,080096-0,0000080096\cdot 5121)}e^{0,080096x}}}={\frac {410,171616}{0,0410171616+{(0,080096-0,0410171616)}e^{0,080096x}}}$

Hinzufügen eines Faktors $m$ . Dieser ist so gewählt, dass die Parameter a und b verändert werden können, das Verhältnis der beiden jedoch gleich bleibt, die Grenze sich also nicht verändert.

$p(x)={\frac {m\cdot 410,171616}{m\cdot 0,0410171616+{(m\cdot 0,080096-m\cdot 0,0410171616)}e^{m\cdot 0,080096x}}}$

Durch Ausprobieren verschiedener Werte für m in Geogebra wird die Funktion solange verschoben, bis die Summe der Abstände der tatsächlichen Werte zu den zugehörigen Punkten auf der Funktion am geringsten ist. Die Summe der Abstände ist bei einem Wert von m = 1,194 minimal.

m = 1,194

$f(x)={\frac {489,663}{0,047e^{-10,096(x+14)}+0,049}}$

Somit ergeben sich folgende Studierendenzahlen:

in Jahren	Studierendenanzahl	gerundet
5	8.658,98	8.659
10	9.123,97	9.124
15	9.438,19	9.438

Zyklus 3.2 (Residuenquadratsumme)

Bei der Residuenquadratsumme wurde ähnlich vorgegangen wie bei den Strecken. Die Abstände zwischen den tatsächlichen Werten und den von der Funktion zugehörigen Werten wurde gemessen und zusätzlich noch quadriert. Durch systematisches Ausprobieren wurde ein Intervall gefunden, indem der optimale Wert für den Parameter m liegt. Mithilfe von Excel wurde die Summe der Quadrate in diesem Intervall berechnet und das Minimum gesucht.

Hierbei ergibt sich für m ein Wert von m = 1,1931 und somit folgende Studierendenanzahl in 5, 10 und 15 Jahren.

in Jahren	Studierendenanzahl	gerundet
5	8657,74	8658
10	9122,89	9123
15	9437,32	9437

Vergleicht man diese Zahlen mit den Zahlen aus dem 1. Zyklus, ergibt sich eine Differenz von einem/einer Studenten/in.

Literatur / Daten

https://www.uni-koblenz-landau.de/de/uni/organisation/verwaltung/abteilungen/stabsstelle-bp/studierendenstatistik/studierendenstatistik?redirection=True

https://de.wikipedia.org/wiki/Populationsdynamik

Engel, Joachim: Anwendungsorientierte Mathematik: Von Daten zur Funktion. 2. Auflage. Berlin: Springer-Verlag, 2010

- (hundertm:) geben Sie hier noch andere Quellen zu den Populationsmodellen an (z.B das in der Vorlesung zitierte Buch)