Erzeugte Algebra/Erzeugter Körper/Textabschnitt
Es sei eine Körpererweiterung und sei ein algebraisches Element.
Dann ist die von erzeugte -Algebra ein Körper.
![{\displaystyle {}K[f]\subseteq L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5225294ea918cce6937e9ac3abb4db9384a48d)
Nach Fakt liegt eine -Algebraisomorphie vor, wobei das Minimalpolynom zu ist. Nach Fakt (2) ist irreduzibel, sodass wegen Fakt der Restklassenring ein Körper ist.
![{\displaystyle {}K[X]/(P)\cong K[f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1efb43c90c46bdc095ea33f5d12104bf3f49c539)
![{\displaystyle {}K[f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d8a9c4641752b7e4bc60d698bc22c7b84438d97)
Es sei eine Körpererweiterung und sei ein algebraisches Element.
Dann stimmen die von über erzeugte Unteralgebra und der von über erzeugte Unterkörper überein.
Es gilt also .
![{\displaystyle {}K[f]=K(f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad55e80060f0cc4264ba0838573e6748224e8801)
Die Inklusion gilt immer, und nach Voraussetzung ist der Unterring aufgrund von Fakt schon ein Körper.
![{\displaystyle {}K[f]\subseteq K(f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d18f8bacdd7739c7c78bc59e5af8fe80d064f7)
Es sei ein Körper, ein irreduzibles Polynom und die zugehörige Körpererweiterung. Dann kann man zu , , (mit ) auf folgende Art das Inverse bestimmen. Es sind und teilerfremde Polynome in und daher gibt es nach Fakt und Fakt eine Darstellung der , die man mit Hilfe des euklidischen Algorithmus finden kann. Wenn ist, so ist die Restklasse von , also , das Inverse zu .
![{\displaystyle {}P\in K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4692e3ffcbd66e900f8975113ff3f32f1cabc21a)
![{\displaystyle {}K\subseteq L=K[X]/(P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c6d31489e25c679443d36b96c92aab2dc089994)
![{\displaystyle F\in K[X],\,x={\overline {X}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1c75d094d2ee8061615db4aa2545932ff63cbc)
![{\displaystyle {}K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7861df9df3d7463835d927c4d0d4c27f5e2f8416)
