Erzeugte Algebra/Erzeugter Körper/Textabschnitt


Es sei eine Körpererweiterung und sei ein algebraisches Element.

Dann ist die von erzeugte -Algebra ein Körper.

Nach Fakt liegt eine -Algebraisomorphie vor, wobei das Minimalpolynom zu ist. Nach Fakt  (2) ist irreduzibel, sodass wegen Fakt der Restklassenring ein Körper ist.



Es sei eine Körpererweiterung und sei ein algebraisches Element.

Dann stimmen die von über erzeugte Unteralgebra und der von über erzeugte Unterkörper überein.

Es gilt also .

Die Inklusion gilt immer, und nach Voraussetzung ist der Unterring aufgrund von Fakt schon ein Körper.


Es sei ein Körper, ein irreduzibles Polynom und die zugehörige Körpererweiterung. Dann kann man zu , , (mit ) auf folgende Art das Inverse bestimmen. Es sind und teilerfremde Polynome in und daher gibt es nach Fakt und Fakt eine Darstellung der , die man mit Hilfe des euklidischen Algorithmus finden kann. Wenn ist, so ist die Restklasse von , also , das Inverse zu .