Euklidische Geometrie/Parallelenaxiom/Sphäre und Poincaré-Ebene/Bemerkung

Das sogenannte Parallelenaxiom (oder Parallelenpostulat) der ebenen euklidischen Geometrie besagt, dass es zu einer jeden Geraden und jedem Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, genau eine parallele Gerade durch diesen Punkt gibt. Eine parallele Gerade ist durch die Eigenschaft bestimmt, dass sie die vorgegebene Gerade nicht schneidet. Eine Frage von historischem Belang war, ob man das Parallelenpostulat aus den anderen Axiomen und Postulaten von Euklid ableiten kann und ob dieses daher unnötig ist. Diese Frage wurde in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts negativ beantwortet, indem geometrische Modelle (die insbesondere ein Konzept von Punkt und Gerade beinhalten) angegeben wurden, die die übrigen Axiome der euklidischen Geometrie erfüllen, aber nicht das Parallelenaxiom. Im Rahmen der riemannschen Geometrie und insbesondere mit dem Konzept einer Geodätischen ergeben sich zwanglos solche Modelle, wenn man die Geodätischen (hier ist das Bild einer geodätischen Kurve gemeint) als Geraden ansieht. Man beachte, dass im axiomatischen Aufbau einer Geometrie eine Gerade nicht durch die Anschauung, sondern durch die ihr in Verbindung mit weiteren Objekten zukommenden Eigenschaften festgelegt ist. Beispielsweise liefert Beispiel mit den dort beschriebenen Geodätischen ein Modell für eine nichteuklidische Geometrie, es gibt zu einer vorgegebenen Geodätischen und einem weiteren Punkt stets unendlich viele Geodätische durch diesen Punkt, die schnittpunktfrei zur vorgegebenen sind.