Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Winkeltreu/Fakt/Beweis

Beweis

Da ${}V$ und ${}W$ isometrisch sind, können wir eine Isometrie vorschalten und annehmen, dass ${}\varphi$ eine winkeltreue Abbildung auf ${}W$ ist. Es sei

${}r=\det \varphi \,$

und es sei

${}s:={\sqrt[{n}]{\vert {r}\vert }}\,,$

wobei ${}n$ die Dimension von ${}W$ sei. Es sei ${}\sigma$ die Streckung mit dem Faktor ${}s$ und wir betrachten die Abbildung

${}\psi :=\sigma ^{-1}\circ \varphi \,.$

Diese Abbildung ist nach wie vor winkeltreu und ihre Determinante ist ${}1$ oder ${}-1$. Nach Aufgabe ist ${}\psi$ eine Isometrie.

Zur bewiesenen Aussage