Exponentialsequenz/Jacobische Varietät/Zusammenhang/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann kommutiert das Diagramm

${\begin{matrix}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})&{\stackrel {H^{1}(\exp )}{\longrightarrow }}&H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })_{0}\cong \operatorname {DKG} _{0}{\left(X\right)}&\\\!\!\!\!\!\operatorname {Res} \downarrow &&\downarrow &\\{H^{0}(X,\Omega )}^{*}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&J&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Dabei steht links der Isomorphismus der Serre-Dualität und rechts die Abel-Jacobi-Abbildung.

Beweis

Die horizontalen Abbildungen sind surjektiv. Da alle Abbildungen Gruppenhomomorphismen sind, genügt es, die Aussage für das Erzeugendensystem ${}[P]-[Q]$ zu ${}P,Q\in X$ von ${}\operatorname {DKG} _{0}{\left(X\right)}$ und ein irgendwie gewähltes Urbild ${}c\in H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ zu zeigen. Es sei ${}\gamma$ ein stetiger Weg von ${}Q$ nach ${}P$. Die Divisorklasse ${}[P]-[Q]$ wird unter der Abel-Jacobi-Abbildung auf die Auswertung ${}\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega$ für ${}\omega \in H^{0}(X,\Omega )$ und die Kohomologieklasse ${}c$ wird unter der Residuenabbildung auf die Linearform ${}\omega \mapsto \operatorname {Res} _{}\left(H^{1}(c\omega )\right)$ abgebildet. Es ist also

${}[\omega \mapsto \operatorname {Res} _{}\left(H^{1}(c\omega )\right)]=[\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega ]\,$

in ${}J$ zu zeigen. Wir überdecken den Weg ${}\gamma$ mit Kreisscheiben und wählen Übergangspunkte. Wegen der Additivität der Abbildungen können wir annehmen, dass die beiden Punkte in einer offenen Kreisscheibe ${}U_{1}$ liegen. Da die Wegintegrale nur von der Homotopieklasse des Weges abhängen, kann man ${}\gamma$ im Kartenbild durch den direkten linearen Weg von ${}Q$ nach ${}P$ ersetzen. Es sei

${}U_{2}:=X\setminus \gamma ([0,1])\,.$

Damit sind wir in der Situation von Beispiel, d.h. die auf

${}U_{1}\cap U_{2}=U_{1}\setminus \gamma ([0,1])\,$

definierte holomorphe Funktion

${}h(z)=\ln \left(z-P\right)-\ln \left(z-Q\right)\,$

repräsentiert eine Kohomologieklasse ${}c$, die auf ${}[Q]-[P]$ abbildet. Wir möchten diese Kohomologieklasse im Sinne von Fakt repräsentieren. Dazu seien

${}\gamma ([0,1])\subseteq U_{1}'\subseteq U_{1}^{\prime \prime }\subseteq U_{1}\,$

offenen Scheibenumgebungen mit unterschiedlichen Radien (im Kartenbild). Wir können ${}h$ durch die entsprechende Funktion auf ${}U_{1}'\setminus \gamma ([0,1])$ bzw. ${}U_{1}^{\prime \prime }\setminus \gamma ([0,1])$ ersetzen. Wir wählen eine ${}C^{\infty }$-differenzierbare Funktion ${}g\in H^{0}(U_{1},{\mathcal {E}})$ die auf ${}U_{1}'$ den Wert ${}1$ und außerhalb von ${}U_{1}^{\prime \prime }$ den Wert ${}0$ besitzt (siehe Fakt). Diese können wir durch ${}0$ auf ganz ${}X$ fortsetzen. Die offenen Mengen ${}U_{1}'$ und ${}U_{2}$ bilden nach wie vor eine offene Überdeckung von ${}X$ und die Funktion ${}0$ auf ${}U_{1}'$ und ${}gh$ auf ${}U_{2}$ bilden eine ${}{\mathcal {E}}$-Realisierung der Kohomologieklasse, da die Differenz auf dem Durchschnitt

${}U_{1}'\cap U_{2}=U_{1}'\setminus \gamma ([0,1])\,$

gleich ${}gh=h$ ist. Sei ${}f=gh$ auf ${}U_{2}$. Es ist dann ${}d^{a}f$ gleich ${}0$ auf ${}U_{1}'$, da ${}h$ holomorph ist, und damit ist ${}d^{a}(f)$ ein globales Element von ${}H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(0,1)})$, das ein Urbild der Kohomologieklasse ${}c$ ist. Nach Fakt wird diese Form unter dem durch eine holomorphe Differentialform ${}\omega$ definierten Homomorphismus auf ${}\omega \wedge d^{a}f$ in ${}H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(2)})$ abgebildet. Dieses repräsentiert das Bild der Kohomologieklasse ${}c$

${}\operatorname {Res} _{}\left(H^{1}(\omega )(c)\right)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}\omega \wedge d^{a}f={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}\omega \wedge df={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{A_{2}'}\omega \wedge df\,,$

wobei ${}A_{2}'$ der Abschluss von ${}U_{2}'$ sei und wobei die letzte Umformung statthaft ist, da ja ${}df$ außerhalb von ${}A_{2}'$ gleich ${}0$ ist. Es sei ${}\delta$ der einfach durchlaufene Rand von ${}A_{2}'$. Nach Stokes ist dieses Integral gleich

$\int _{\delta }f\omega .$

$\Box$

Aus der Exponentialsequenz (siehe Beispiel und Fakt) erhält man eine exakte Sequenz

$0\longrightarrow H^{1}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\cong \operatorname {Pic} {\left(X\right)}\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow 0.$

Eine invertierbare Garbe vom Grad ${}0$ rührt von einer ersten Kohomologieklasse ${}c$ aus ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ her. Die Trivialität der invertierbaren Garbe bedeutet, dass die Klasse von ${}H^{1}(X,\mathbb {Z} )$ herkommt. Bei Abel-Jacobi geht es um das Diagramm

${\begin{matrix}H^{1}(X,\mathbb {Z} )&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})&\\\!\!\!\!\!?\downarrow &&\downarrow Res\!\!\!\!\!&\\H_{1}(X,\mathbb {Z} )&{\stackrel {\int }{\longrightarrow }}&{H^{0}(X,\Omega _{X})}^{*}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Die angedeuteten Abbildungen sind rechts Serre-Dualität, also der Isomorphismus ${}c\mapsto {\left(\omega \mapsto \operatorname {Res} _{}\left(H^{1}(\omega )(c)\right)\right)}$ und unten ${}\gamma \mapsto {\left(\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega \right)}$. Die untere Zeile definiert die jacobische Varietät. Es ist zu zeigen, dass der Isomorphismus rechts einen Isomorphismus links induziert.

${\begin{matrix}0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H^{1}(X,\mathbb {Z} )&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Pic} _{0}{\left(X\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\!\!\!\!\!?\downarrow &&\downarrow Res\!\!\!\!\!&&\downarrow &&\downarrow &\\0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H_{1}(X,\mathbb {Z} )&{\stackrel {\int }{\longrightarrow }}&{H^{0}(X,\Omega _{X})}^{*}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&J&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!.\end{matrix}}$

Eine Kohomologieklasse ${}U_{i},h_{ij}$ wird bei einer gegebenen globalen holomorphen Differentialform ${}\omega$ auf ${}U_{i},h_{ij}\omega$ abgebildet. Wenn man ${}h_{ij}$ durch meromorphe Funktionen ${}g_{i}$ repräsentiert, so wird die Bildklasse durch ${}g_{i}\omega$ repräsentiert. Wenn man mit der Hauptteilverteilung ${}\tau _{P}$ arbeitet (${}\tau _{P}=[g_{i}]$), so nimmt man ${}\tau _{P}\omega$. Das Residuum ist dann ${}\sum _{P}\operatorname {Res} _{P}\left(\tau _{P}\omega \right)$, siehe Fakt. Dies ist nur für Polstellen der Form ${}\tau _{P}\omega$ interessant, wobei ${}\omega$ selbst keine Pole hat, aber durch ${}\tau _{P}$ welche reinkommen.

Zu vergleichen mit ${}e^{h_{ij}}$, ${}e^{g_{i}}$ wohl kein Sinn. Zugehöriger Divisor durch

${}e^{h_{ij}}=f_{i}/f_{j}\,.$

Die lokalen Hauptdivisoren ${}\operatorname {div} {\left(f_{i}\right)}$ legen Punktetupel fest.