Fünfter Kreisteilungskörper/Nicht graduiert/Aufgabe/Lösung

Die Galoisgruppe des fünften Kreisteilungskörpers ${}K$ ist isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(4)$. Als Graduierung kommen nur die beiden Gruppen ${}\mathbb {Z} /(4)$ und ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ in Frage. Im zweiten Fall würde aber die Automorphismengruppe nach Fakt eine Untergruppe der Form ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ enthalten, was ausgeschlossen ist. Die einzig verbleibende Möglichkeit wäre also ${}\mathbb {Z} /(4)$ als graduierende Gruppe, und dann wäre

${}K\cong \mathbb {Q} [U]/{\left(U^{4}-c\right)}\,$

mit einem ${}c\in \mathbb {Q}$. Der erzeugende Automorphismus ${}\varphi$ schickt ${}U$ auf ein ${}\varphi (U)$, das ebenfalls

${}{\left(\varphi (U)\right)}^{4}=c\,$

erfüllt. Somit ist

${}{\left({\frac {U}{\varphi (U)}}\right)}^{4}=1\,.$

Dabei ist

${}{\frac {U}{\varphi (U)}}=-1\,$

ausgeschlossen, da andernfalls

${}\varphi (U)=-U\,$

wäre und der Homomorphismus die Ordnung ${}2$ hätte. Also ist

${}{\frac {U}{\varphi (U)}}=\pm {\mathrm {i} }\,.$

Der fünfte Kreisteilungskörper enthält aber nicht die imaginäre Einheit.

Zur gelösten Aufgabe