Fünfter Kreisteilungsring/Primzahlen/Zerlegungsverhalten/Beispiel

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [X]/(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)=\mathbb {Z} [x]$. Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Es sei zuerst ${}q=5$. Hier ist über ${}\mathbb {Z} /(5)$

${}(X-1)(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)=X^{5}-1=(X-1)^{5}\,$

und somit ${}X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1=(X-1)^{4}$. Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von ${}(5)$ und dessen Restklassenkörper ist ${}\mathbb {Z} /(5)$, der Trägheitsgrad ist also ${}1$ und der Verzweigungsindex ist ${}4$.

Das Zerlegungsverhalten der anderen Primzahlen ${}q\neq 5$ versuchen wir mit Hilfe eines Zwischenringes zu verstehen. Sei

${}v=x-x^{2}-x^{3}+x^{4}\,.$

Eine direkte Rechnung (siehe Beispiel) zeigt ${}v^{2}=5$, d.h. es liegt ein Zwischenring

${}\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]\subset \mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}]=\mathbb {Z} [x^{3}+x^{2}]=S\subset \mathbb {Z} [x]\,$

vor, wobei der Ganzheitsring zu ${}{\sqrt {5}}$ mit Fakt bestimmt wurde.

Für

${}q=1,4\mod 5\,$

ist ${}5$ ein Quadrat modulo ${}q$. Über diesen Primzahlen liegen in ${}S$ zwei Primideale, beide mit dem Restekörper ${}\mathbb {Z} /(q)$ und dem Trägheitsgrad ${}1$. Über diesen Primzahlen zerfällt das fünfte Kreisteilungspolynom in zwei Faktoren vom Grad ${}2$. Ob es weiter in Linearfaktoren zerfällt, hängt von ${}q$ ab.

Bei ${}q=11$ sind ${}1,3,4,5,9$ fünfte Einheitswurzeln in ${}\mathbb {Z} /(11)$ und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung

${}X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1=(X-3)(X+2)(X-4)(X-5)\,.$

Über ${}(11)$ liegen also vier Primideale, jeweils mit dem Trägheitsgrad ${}1$. Ein entsprechendes Verhalten gilt für alle Primzahlen ${}q$ mit ${}q=1\mod 5$ nach Fakt.

Bei ${}q=4\mod 5$ gibt es nur die ${}1$ als fünfte Einheitswurzel und es gilt

$X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1={\left(X^{2}+{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}X+1\right)}{\left(X^{2}-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}X+1\right)}\,,$

wobei für ${}{\sqrt {5}}$ eine Quadratwurzel von ${}5$ aus ${}\mathbb {Z} /(q)$ einzusetzen ist. Bei ${}q=19$ ist beispielsweise ${}9^{2}=5$ und daher ist

$X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1={\left(X^{2}+5X+1\right)}{\left(X^{2}+15X+1\right)}\,.$

Bei ${}q=3\mod 5$