Faktorieller Bereich/Exponentenkriterium/Fakt/Beweis

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Aus der Beziehung ${}b=ac$ folgt mit Fakt direkt

${}\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(b\right)}=\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(ac\right)}=\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(a\right)}+\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(c\right)}\geq \operatorname {exp} _{p}^{}{\left(a\right)}\,.$

${}(2)\Rightarrow (1)$. Wir schreiben

${}a=u\prod _{p}p^{\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(a\right)}}\,$

und

${}b=v\prod _{p}p^{\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(b\right)}}\,$

mit Einheiten ${}u,v$. Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist ${}t=u^{-1}v\prod _{p}p^{{\nu _{p}(b)}-{\nu _{p}(a)}}$ ein Ringelement, das mit ${}a$ multipliziert gerade ${}b$ ergibt.

Zur bewiesenen Aussage