Zu einem
Primelement
in einem
faktoriellen Bereich
mit
Quotientenkörper
ist die Zuordnung
-
ein
(wohldefinierter)
Gruppenhomomorphismus.
Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei
-
eine weitere Darstellung, also
-
Dann ist nach
Fakt
-
woraus sich
-
ergibt. Die Gruppenhomomorphie ergibt sich ebenfalls aus
Fakt.
Wir schreiben
-
mit von verschiedenen Elementen . Die Primfaktorzerlegungen dieser Elemente seien
und ,
wobei die nicht untereinander assoziiert seien, und Einheiten sind. Dann ist
-
eine Darstellung der gewünschten Art. Wenn zwei Darstellungen
-
gegeben sind, so erhält man durch Multiplikation mit für hinreichend großes , dass links und rechts alle Exponenten positiv werden. Aus der Faktorialität folgt daraus
für alle und damit auch
.
Man kann also beispielsweise jede rationale Zahl
eindeutig schreiben als
-
mit Primzahlen und Exponenten
.
Der multiplikative Übergang von nach enspricht also auf der Ebene der Exponenten dem additiven Übergang von nach .
Die eben angeführte eindeutige Darstellung ist mit der Multiplikation verträglich. In der nächsten Aussage bedeutet die Schreibweise die Menge aller -Tupel mit Werten in , wobei aber jeweils nur endlich viele Einträge von verschieden sein dürfen.
Es sei ein
faktorieller Bereich mit
Quotientenkörper
. Es sei
, ,
ein System von paarweise nicht
assoziierten
Primelementen
von und sei die
Einheitengruppe
von
Dann ist
(wobei die nach
Fakt
eindeutige Einheit bezeichnet)
-
ein
Gruppenisomorphismus
mit der Umkehrabbildung
-