Faktorieller Bereich/Quotientenkörper/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Zu einem Primelement ${}p\in R$ in einem faktoriellen Bereich ${}R$ mit Quotientenkörper ${}Q(R)$

ist die Zuordnung

$Q(R)^{\times }\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,{\frac {f}{g}}\longmapsto \operatorname {exp} _{p}^{}{\left(f\right)}-\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(g\right)},$

ein (wohldefinierter) Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei

${}{\frac {f}{g}}={\frac {h}{q}}\,$

eine weitere Darstellung, also

${}fq=hg\,.$

Dann ist nach Fakt

${}\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(f\right)}+\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(q\right)}=\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(fq\right)}=\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(hg\right)}=\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(h\right)}+\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(g\right)}\,,$

woraus sich

${}\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(f\right)}-\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(g\right)}=\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(h\right)}-\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(q\right)}\,$

ergibt. Die Gruppenhomomorphie ergibt sich ebenfalls aus Fakt.

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Satz

Sei ${}R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$.

Dann besitzt jedes Element ${}f\in K$, ${}f\neq 0$, eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung

${}f=up_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{n}^{r_{n}}\,$

mit einer Einheit ${}u\in R$ und ganzzahligen Exponenten ${}r_{i}$.

Beweis

Wir schreiben

${}f={\frac {a}{b}}\,$

mit von ${}0$ verschiedenen Elementen ${}a,b\in R$. Die Primfaktorzerlegungen dieser Elemente seien ${}a=u_{1}p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}}$ und ${}b=u_{2}p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{n}^{k_{n}}$, wobei die ${}p_{i}$ nicht untereinander assoziiert seien, ${}m_{i},k_{i}\in \mathbb {N} _{\geq 0}$ und ${}u_{1},u_{2}$ Einheiten sind. Dann ist

${}{\frac {a}{b}}={\frac {u_{1}p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}}}{u_{2}p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{n}^{k_{n}}}}=u_{1}u_{2}^{-1}p_{1}^{m_{1}-k_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}-k_{n}}\,$

eine Darstellung der gewünschten Art. Wenn zwei Darstellungen

${}up_{1}^{r_{1}}\cdots p_{n}^{r_{n}}=f=vp_{1}^{s_{1}}\cdots p_{n}^{s_{n}}\,$

gegeben sind, so erhält man durch Multiplikation mit ${}(p_{1}\cdots p_{n})^{t}$ für hinreichend großes ${}t$, dass links und rechts alle Exponenten positiv werden. Aus der Faktorialität folgt daraus ${}r_{i}=s_{i}$ für alle ${}i$ und damit auch ${}u=v$.

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Man kann also beispielsweise jede rationale Zahl ${}q=a/b$ eindeutig schreiben als

${}q=\pm p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{n}^{r_{n}}\,$

mit Primzahlen ${}p_{1},\ldots ,p_{n}$ und Exponenten ${}r_{1},\ldots ,r_{n}\in \mathbb {Z}$. Der multiplikative Übergang von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}\mathbb {Q}$ enspricht also auf der Ebene der Exponenten dem additiven Übergang von ${}\mathbb {N}$ nach ${}\mathbb {Z}$.

Die eben angeführte eindeutige Darstellung ist mit der Multiplikation verträglich. In der nächsten Aussage bedeutet die Schreibweise ${}\mathbb {Z} ^{(I)}$ die Menge aller ${}I$-Tupel mit Werten in ${}\mathbb {Z}$, wobei aber jeweils nur endlich viele Einträge von ${}0$ verschieden sein dürfen.

Satz

Sei ${}R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$. Es sei ${}p_{i}$, ${}i\in I$, ein System von paarweise nicht assoziierten Primelementen von ${}R$ und sei ${}U$ die Einheitengruppe von ${}R$

Dann ist (wobei $u(q)$ die nach Fakt eindeutige Einheit bezeichnet)

$Q(R)^{\times }\longrightarrow U\times \mathbb {Z} ^{(I)},\,q\longmapsto (u(q),\operatorname {exp} _{p_{i}}^{}{\left(q\right)}),$

ein Gruppenisomorphismus mit der Umkehrabbildung

$U\times \mathbb {Z} ^{(I)}\longrightarrow Q(R)^{\times },\,(u,{e_{p_{i}}})\longmapsto u\prod _{i\in I}p^{e_{p_{i}}}.$

Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.

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