Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Cauchy-Kriterium/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst die Familie summierbar mit der Summe ${}s$, und sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Zu ${}\epsilon /2$ gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Mengen ${}E\subseteq I$ mit ${}E_{0}\subseteq E$ die Abschätzung ${}\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon /2$ gilt. Für jede zu ${}E_{0}$ disjunkte endliche Teilmenge ${}D$ gilt dann

${}{\begin{aligned}\vert {a_{D}}\vert &=\vert {a_{D}+a_{E_{0}}-s-a_{E_{0}}+s}\vert \\&\leq \vert {a_{D}+a_{E_{0}}-s}\vert +\vert {a_{E_{0}}-s}\vert \\&=\vert {a_{E_{0}\cup D}-s}\vert +\vert {a_{E_{0}}-s}\vert \\&\leq \epsilon /2+\epsilon /2\\&=\epsilon ,\end{aligned}}$

sodass die Cauchy-Bedingung erfüllt ist.
Es sei nun ${}a_{i}$ , ${}i\in I$, eine Cauchy-Familie. Wir brauchen zunächst einen Kandidaten für die Summe. Für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{n}\subseteq I$ derart, dass für jede endliche Teilmenge ${}D\subseteq I$ mit ${}E_{n}\cap D=\emptyset$ die Abschätzung ${}\vert {a_{D}}\vert \leq 1/n$ gilt. Wir können annehmen, dass ${}E_{n}\subseteq E_{n+1}$ für alle ${}n$ gilt. Wir setzen

${}x_{n}:=a_{E_{n}}=\sum _{i\in E_{n}}a_{i}\,.$

Für ${}k\geq m\geq n$ gilt

${}\vert {x_{k}-x_{m}}\vert =\vert {\sum _{i\in E_{k}}a_{i}-\sum _{i\in E_{m}}a_{i}}\vert =\vert {a_{E_{k}\setminus E_{m}}}\vert \leq 1/m\leq 1/n\,,$

da die Menge ${}E_{k}\setminus E_{m}$ disjunkt zu ${}E_{m}$ ist. Daher ist ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge und somit wegen der Vollständigkeit von ${}{\mathbb {C} }$ konvergent gegen ein ${}s\in {\mathbb {C} }$.
Wir behaupten, dass die Familie summierbar ist mit der Summe ${}s$. Es sei dazu ein ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Es gibt ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}1/n\leq \epsilon /2$. Dann ist wegen der Folgenkonvergenz und der Abschätzung von eben ${}\vert {x_{n}-s}\vert \leq \epsilon /2$. Für jedes endliche ${}E\supseteq E_{n}$ schreiben wir ${}E=E_{n}\cup D$ mit ${}E_{n}\cap D=\emptyset$. Damit gelten die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\vert {a_{E}-s}\vert &=\vert {a_{E_{n}}+a_{D}-s}\vert \\&\leq \vert {a_{E_{n}}-s}\vert +\vert {a_{D}}\vert \\&\leq \epsilon /2+\epsilon /2\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage