Fermatsche Primzahlen/n-Eck/Konstruierbarkeit/Textabschnitt

Definition

Eine Primzahl der Form ${}2^{s}+1$, wobei ${}s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Fermatsche Primzahlen gibt. Es ist noch nicht mal bekannt, ob es außer den ersten fünf Fermatschen Primzahlen

$3,5,17,257,65537$

überhaupt weitere Fermatschen Primzahlen gibt.

Lemma

Bei einer Fermatschen Primzahl ${}2^{s}+1$ hat der Exponent die Form ${}s=2^{r}$ mit einem ${}r\in \mathbb {N}$.

Beweis

Wir schreiben ${}s=2^{k}u$ mit ${}u$ ungerade. Damit ist

${}2^{2^{k}u}+1={\left(2^{2^{k}}\right)}^{u}+1\,.$

Für ungerades ${}u$ gilt generell die polynomiale Identität (da ${}-1$ eine Nullstelle ist)

$X^{u}+1=(X+1){\left(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\ldots +X^{2}-X+1\right)}\,.$

Also ist ${}2^{2^{k}}+1\geq 3$ ein Teiler von ${}2^{2^{k}u}+1$. Da diese Zahl nach Voraussetzung prim ist, müssen beide Zahlen gleich sein, und dies bedeutet ${}u=1$.

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Eine Fermatsche Primzahl ist nach diesem Lemma also insbesondere eine Fermat-Zahl im Sinne der folgenden Definition.

Definition

Eine Zahl der Form ${}2^{2^{r}}+1$, wobei ${}r$ eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.

Diese Torte wurde nicht mit Zirkel und Lineal geteilt.

Satz

Ein reguläres ${}n$-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von ${}n$ die Gestalt

${}n=2^{\alpha }p_{1}\cdots p_{k}\,$

hat, wobei die ${}p_{i}$ verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.

Beweis

Es sei ${}n=2^{\alpha }p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}$ die Primfaktorzerlegung von ${}n$ mit den verschiedenen ungeraden Primzahlen ${}p_{i}$, ${}i=1,\ldots ,k$, und positiven Exponenten ${}r_{i}\geq 1$ (und ${}\alpha \geq 0$). Nach Fakt muss die eulersche Funktion eine Zweierpotenz sein, also

${}{\varphi (n)}=2^{t}\,.$

Andererseits gilt nach Fakt die Beziehung

${}{\varphi (n)}=2^{\alpha -1}(p_{1}-1)p_{1}^{r_{1}-1}\cdots (p_{k}-1)p_{k}^{r_{k}-1}\,$

(bei ${}\alpha =0$ ist der Ausdruck ${}2^{\alpha -1}$ zu streichen). Da dies eine Zweierpotenz sein muss, dürfen die ungeraden Primzahlen nur mit einem Exponenten ${}1$ (oder ${}0$) auftreten. Ferner muss jede beteiligte Primzahl ${}p$ die Gestalt ${}p=2^{s}+1$ haben, also eine Fermatsche Primzahl sein.
Für die andere Richtung muss man aufgrund von Fakt lediglich zeigen, dass für eine Fermatsche Primzahl ${}p=2^{s}+1$ das regelmäßige ${}p$-Eck konstruierbar ist. Der ${}p$-te Kreisteilungskörper besitzt nach Fakt den Grad ${}p-1=2^{s}$, und dieser ist der Zerfällungskörper des ${}p$-ten Kreisteilungspolynoms und wird von der ${}p$-ten primitiven Einheitswurzel ${}\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ erzeugt. Aufgrund von Fakt ist somit ${}\zeta$ konstruierbar.

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