Fläche im Raum/Paralleles Vektorfeld/Einheitsnormalenfeld/Kreuzprodukt/Aufgabe

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{3}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Fläche versehen mit einem Einheitsnormalenfeld ${}N$. Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine stetig differenzierbare Kurve und sei

$F\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

ein differenzierbares tangentiales Vektorfeld längs ${}\gamma$, das parallel sei. Zeige, dass dann auch das Vektorfeld

$I\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto N(\gamma (t))\times F(t),$

parallel ist, wobei ${}\times$ das Kreuzprodukt

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ bezeichnet.

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