Folgen/Konvergenz im R^n/Komponentenweise/Fakt

Der ${}\mathbb {R} ^{m}$ sei mit der euklidischen Metrik versehen und sei ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}\mathbb {R} ^{m}$ mit

${}z_{n}={\left(z_{1n},\ldots ,z_{mn}\right)}\,.$

Dann konvergiert die Folge im ${}\mathbb {R} ^{m}$ genau dann, wenn alle Komponentenfolgen ${}{\left(z_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}\mathbb {R}$ konvergieren.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen