Es sei die Gesamtfolge konvergent gegen
.
Wir behaupten, dass die -te Komponentenfolge gegen konvergiert. Sei
(ohne Einschränkung)
und
vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Gesamtfolge gibt es ein
mit
für alle
.
Daher ist
Es seien nun alle Komponentenfolgen konvergent, wobei die -te Folge den Grenzwert besitzen möge, und sei ein
vorgegeben. Wir setzen
und behaupten, dass die Folge gegen konvergiert. Zu gibt es für jede Komponentenfolge ein derart, dass
für alle
gilt. Dann gilt für alle
-
die Beziehung