Es sei
ein nichtkonstantes Polynom. Aufgrund von
Fakt
gibt es ein
mit
für alle
.
Wir müssen zeigen, dass dieses Betragsminimum
ist. Wir nehmen also an, dass
ist, und müssen dann ein
finden, an dem der Betrag des Polynoms kleiner wird. Durch Verschieben
(d.h. indem wir die Situation in der neuen Variablen
betrachten)
können wir annehmen, dass das Minimum an der Stelle
angenommen wird, und durch Division durch
können wir annehmen, dass das Polynom im Nullpunkt den Wert
besitzt. D.h. wir können annehmen, dass ein Polynom
-
![{\displaystyle {}P=1+c_{k}z^{k}+c_{k+1}z^{k+1}+\cdots +c_{d}z^{d}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa4d8a7301e95673b5bf14180449d1505b8db819)
mit
und
vorliegt, das im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt. Wegen
Fakt
gibt es ein
mit
.
Wir setzen
(das ist eine Variablenstreckung).
In der neuen Variablen
erhalten wir ein Polynom der Form
-
das nach wie vor im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt
(hierbei ist
ein Polynom).
Aufgrund von
Fakt
gibt es ein
mit
für alle
.
Für reelles
mit
gilt
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {1-w^{k}+w^{k+1}Q(w)}\vert &\leq \vert {1-w^{k}}\vert +\vert {w^{k+1}Q(w)}\vert \\&=1-w^{k}+w^{k+1}\vert {Q(w)}\vert \\&=1-w^{k}(1-w\vert {Q(w)}\vert )\\&<1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d273b29d94faed56892f7fb1ccd2d5c3db8d93)
Wir haben also Stellen gefunden, wo der Betrag des Polynoms einen kleineren Wert annimmt, ein Widerspruch.