Funktion/Iteration/x^2+x-7 durch 4/Häufungspunkt/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}f(-2)=(-2)^{2}-2-{\frac {7}{4}}={\frac {1}{4}}\,$

und

${}f(1)=1^{2}+1-{\frac {7}{4}}={\frac {1}{4}}\,.$

Die Ableitung der Funktion ist

${}f'(x)=2x+1\,,$

daher wird das Minimum bei

${}x=-{\frac {1}{2}}\,$

mit dem Wert

${}f{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}={\left(-{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{2}}-{\frac {7}{4}}=-2\,$

angenommen. Daher ist

$f([-2,1])\subseteq [-2,{\frac {1}{4}}]\subseteq [-2,1].$

Bei ${}x_{0}\in [-2,1]$ sind demnach alle Folgenglieder ${}x_{n}\in [-2,1]$. Nach dem

Satz von Bolzano-Weierstraß

besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge und damit einen Häufungspunkt.

Zur gelösten Aufgabe